曲面与球面在某点相切（曲面的切平面和法线方程公式）



1、曲面与球面在某点相切

曲面与球面在某点相切，意味着在这一点上，两个曲面的切平面重合。

相切点处的曲面法向量与球面法向量平行。对于曲面，法向量由曲面梯度向量决定；对于球面，法向量是指向球心的向量。

为了确定相切点，可以解曲面和球面的隐式方程组。在求得相切点后，可以计算相切平面的方程。

相切点的性质对于曲面设计和建模非常重要。它可以帮助确定曲面的可微性、曲率和表面积等特性。

例如，如果曲面在给定点处与球面相切，则该点处的曲率等于球面的曲率。如果曲面在所有点处与球面相切，则该曲面被称为球面。

曲面与球面相切的应用广泛，涉及几何学、物理学和工程领域。在几何学中，相切点用于确定曲面的形状和性质。在物理学中，相切点用于分析物体之间的接触力和摩擦力。在工程中，相切点用于设计和分析流体动力学和固体力学中的表面。

2、曲面的切平面和法线方程公式

曲面的切平面和法线方程

对于一个给定的三维曲面，在曲面上任意一点 P 处，存在一个与该曲面相切的平面，称为切平面。切平面的法线向量称为法线向量。

切平面的方程一般表示为：

a(x - x?) + b(y - y?) + c(z - z?) = 0

其中 (x?, y?, z?) 是曲面上点 P 的坐标，(a, b, c) 是法线向量的分量。

法线向量的分量可以通过求曲面上点 P 处曲面的梯度向量来获得。设曲面的方程为 F(x, y, z) = 0，则梯度向量为：

```

?F(x?, y?, z?) = (?F/?x, ?F/?y, ?F/?z)

```

因此，法线向量 (a, b, c) 为：

```

a = ?F/?x

b = ?F/?y

c = ?F/?z

```

举个例子，对于曲面 z = x2 + y2，在点 (1, 1, 2) 处：

```

?F/?x = 2x = 2

?F/?y = 2y = 2

?F/?z = 1

```

因此，法线向量 (a, b, c) 为 (2, 2, 1)，切平面的方程为：

```

2(x - 1) + 2(y - 1) + (z - 2) = 0

```

3、与球面相切的平面方程怎么求

求与球面相切的平面方程

已知球面方程为：(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r2，求与球面相切的平面方程。

设与球面相切的平面方程为：Ax+By+Cz+D=0

步骤 1：确定平面与球面相切的点 (x0, y0, z0)

由球面方程和平面方程相减得到：

(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2-r2=Ax+By+Cz+D

由于平面与球面相切，因此它们在相切点 (x0, y0, z0) 处有相同的法向量。令上式在 (x0, y0, z0) 处取值等于 0，可得：

2x0(x0-a)+2y0(y0-b)+2z0(z0-c)=AD

步骤 2：消去 (x0, y0, z0)

将 (x0, y0, z0) 代回球面方程，可得：

(x0-a)2+(y0-b)2+(z0-c)2=r2

展开以上式子，化简后得到：

x02+y02+z02-(2ax0+2by0+2cz0)+a2+b2+c2-r2=0

令 M = x02+y02+z02?(2ax0+2by0+2cz0) + a2+b2+c2-r2，则有 AD = 2M

将 AD = 2M 代回平面方程，可得：

Ax+By+Cz+D-2M=0

步骤 3：确定常数 D

令平面通过原点，即 (0, 0, 0) 满足平面方程，可得：

D=2M

因此，与球面相切的平面方程为：

Ax+By+Cz+2M=0

4、圆两个切点所在直线方程为

圆的两个切点所在直线的方程

已知圆心为圆O，半径为r，切点为P、Q，且切线分别为l1、l2。过P、Q作圆O的直径AB，则PA与PB分别与l1、l2垂直。

设l1与AB的交点为C，l2与AB的交点为D，则PC垂直于AB，且PC=PA=r。同理，QD垂直于AB，且QD=QB=r。

过C、D作AB的垂线，分别交l1、l2于M、N。则CM=r，DN=r。

又因为PC垂直于AB，故PC∥DN，因此∠PCM=∠CDN=90°。同理，∠PCN=∠CDM=90°。

因此，四边形PCDN为矩形，且PC=DN=r。

设l1的方程为y=kx+m，则

CM=r=y-DN=kx+m-r

因此，k=0，m=r。即l1的方程为y=r。

同理，l2的方程为y=-r。

圆的两个切点所在直线的方程分别为y=r和y=-r。