面积相等时三角形周长最大（面积相等的三角形它们的周长也一定相等吗）

1、面积相等时三角形周长最大

直观上，我们可能会猜测，面积相等时，正方形的周长最大。这个猜测并不正确。数学家已证明，当面积相等时，周长最大的图形是等边三角形。

设三角形的边长为 x，面积为 A。则有：

A = (x2/4) √3

要使周长最大，我们需要最大化周长为 3x 的表达式。由于面积固定，因此需要找出使 x 最小的值。

根据面积公式，我们有：

x = (4A/√3)^(1/2)

将此代入周长公式，得到：

周长 = 3(4A/√3)^(1/2)

对 A 求导并令其为零，得到：

A = 0

这显然是错误的，因为面积不能为零。因此，我们尝试找第二个临界点。

对周长公式求二阶导，得到：

d2周长/dA2 > 0

这表明周长是 A 的凹函数，因此它的全局最小值发生在无穷远处。这意味着，当 A 趋于无穷大时，周长也趋于无穷大。

因此，当面积相等时，周长最大的图形是等边三角形。这个反直觉，但数学证明是严谨的。

2、面积相等的三角形它们的周长也一定相等吗

三角形面积相等是否意味着周长一定相等是一个有趣的问题。答案是否定的。面积相等的三角形不一定拥有相等的周长。

要理解这一点，让我们考虑以下两个三角形：

三角形 A：底边长为 6 厘米，高为 4 厘米。

三角形 B：底边长为 4 厘米，高为 6 厘米。

这两个三角形的面积相同，因为面积公式为 (底边长 x 高度) / 2，对于这两个三角形，结果都为 12 平方厘米。

这两个三角形的周长不同。

三角形 A 的周长 = 底边长 + 2 x 高度 = 6 + 2 x 4 = 14 厘米

三角形 B 的周长 = 底边长 + 2 x 高度 = 4 + 2 x 6 = 16 厘米

因此，我们可以看到，虽然这两个三角形的面积相等，但它们的周长却不同。这个例子表明，面积相等并不一定意味着周长也相等。

3、面积相等的三角形中周长最短的是

面积相等的三角形中，周长最短的为正三角形。

证明：

假设有两个面积相等的三角形△ABC和△PQR。我们取△ABC的一条边为底边BC，并在BC上取一点D，使得△ABD和△ACD的面积相等。由于△ABC和△PQR面积相等，因此△ABD和△PQR也面积相等。

我们连接AD，则△ABD和△ACD为底面积相等、高相等的三角形，因此AD平分∠BAC。同样，在△PQR中取一条边为底边，并取一点E使得△PBE和△QCE面积相等，则AE平分∠PQR。

现在我们来比较△ABC和△PQR的周长。△ABC的周长为AB+BC+CA，而△PQR的周长为PQ+QR+RP。由于△ABD和△PQR面积相等，因此AB=PQ。同理，BC=QR。

由于AD平分∠BAC，因此∠BAD=∠CAD。同理，∠PAE=∠QAE。因此，∠BAC=∠PQR。

设∠BAC的度数为α，则∠PQR的度数也为α。因此，△PQR的第三个角∠PRQ=180°-2α，而△ABC的第三个角∠BCA=180°-α。

由于180°-2α<180°-α，因此∠PRQ<∠BCA。这表明△PQR比△ABC更“扁”，因此△PQR的第三条边RP比△ABC的第三条边CA更长。

因此，△ABC的周长AB+BC+CA小于△PQR的周长PQ+QR+RP。这意味着面积相等的三角形中，周长最短的为底角为60度的正三角形。

4、面积相等周长相等的三角形全等吗

三角形全等是几何学中一个重要的概念，它指两个三角形在形状和大小上完全相同。判断三角形是否全等的方法有很多，其中一个方法就是面积相等和周长相等。

只凭面积相等和周长相等还不足以判断三角形全等。这是因为存在一些特殊情况，即使三角形的面积和周长相等，它们也可能不是全等的。

其中一种情况是等腰直角三角形。等腰直角三角形有两个相等的直角边和一个斜边。如果两个等腰直角三角形的周长和面积相等，那么这两个三角形可能是全等的，也可能不是全等的。

另一种情况是异形三角形。异形三角形是三个边长都不相等的三角形。如果两个异形三角形的周长和面积相等，那么这两个三角形一定不是全等的。

因此，只凭面积相等和周长相等无法唯一地判断三角形是否全等。为了准确判断三角形是否全等，还需要使用其他的全等定理，例如全等定理（SSS、SAS、ASA）。