求两个半径相等的直交圆柱面（求半径相等的两个直交圆柱面所围成立体的体积和表面积）



1、求两个半径相等的直交圆柱面

求两个半径相等的直交圆柱面

设两个圆柱面的半径均为 r，高分别为 h? 和 h?。则圆柱面的体积分别为：

V? = πr2h?

V? = πr2h?

由于这两个圆柱面相交且半径相等，因此它们的底面圆周长相等，即：

2πr = 2πr

这意味着两个圆柱面的底面重合，因此它们的交线是一条直径。

设交线的长度为 d。则根据勾股定理：

d2 = h?2 + h?2

又因为两个圆柱面的半径相等，因此它们的横截面也是相等的，即：

πr2 = πr2

这说明两个圆柱面的横截面重合，因此它们的交线垂直于它们的轴。

两个半径相等的直交圆柱面的交线是一条直径，且该直径与它们的轴垂直。

2、求半径相等的两个直交圆柱面所围成立体的体积和表面积

在三维空间中，我们考虑两个相互正交的圆柱面，它们的半径相等为 r。设这两个圆柱面的轴线分别为 L? 和 L?，并设它们在 xy 平面的投影为圆 C? 和 C?。

这两个圆柱面相交形成一个立方体，其体积和表面积分别由下式给出：

体积：V = 8r3

表面积：S = 32r2

体积推理：

圆柱面所围成的立体是一个圆柱，其底面积为 πr2，高为 2r。因此，体积为：

V = πr2 × 2r = 2πr3

由于有 4 个这样的圆柱，因此立方体的体积为：

V = 4 × 2πr3 = 8r3

表面积推理：

圆柱面的侧表面积为 2πrh，其中 h 为圆柱的高。对于给定的圆柱，h = 2r。因此，侧表面积为：

S = 2πr(2r) = 4πr2

由于有 4 个这样的圆柱，因此立方体的侧表面积为：

S = 4 × 4πr2 = 16πr2

立方体还有 6 个正方形面，每个面的面积为 4r2。因此，正方形面的总表面积为：

S = 6 × 4r2 = 24r2

因此，立方体的总表面积为：

S = 16πr2 + 24r2 = 32r2

3、求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积

求由两个半径相等、垂直相交的直圆柱面所围成的立体的体积如下：

给定两个半径相等的直圆柱面，其半径为 r。它们垂直相交，形成一个四面体立体。

其中，每个直圆柱面的高度分别为 h1 和 h2。

这个四面体立体的体积可以用以下公式计算：

V = 1/6 π r2 (h12 + h22 + h1 h2)

推导过程：

四面体的体积公式为：V = 1/3 B h，其中 B 为底面积，h 为高。

对于这个四面体，其底面积为两个圆柱面的底面积之和，即 B = 2 π r2。

其高为两个圆柱面高度的和，即 h = h1 + h2。

代入公式，得到：

V = 1/3 B h

= 1/3 2 π r2 (h1 + h2)

= 1/6 π r2 (h12 + h22 + h1 h2)

因此，由两个半径相等、垂直相交的直圆柱面所围成的立体的体积为 1/6 π r2 (h12 + h22 + h1 h2)。

4、两个半径相等的圆柱垂直相交得到的图形怎么画

当两个半径相等的圆柱垂直相交时，得到的图形是一个复杂的立体形状，称为“笛卡尔卵形线”。绘制这个图形的步骤如下：

1. 绘制圆柱体 1：在平面内绘制一个半径为 r 的圆 C1，然后垂直于 C1 作一条线段 AB，长度为 2h，其中 h 为圆柱体的半高。连接 CA 和 CB，即得到圆柱体 1 的底面和侧面。

2. 绘制圆柱体 2：在圆柱体 1 的中心点 O 处绘制一个与 C1 半径相同的圆 C2。然后，与圆柱体 1 相垂直地作一条线段 DE，长度为 2h，连接 OD 和 OE，即得到圆柱体 2 的底面和侧面。

3. 确定相交线：圆柱体 1 的底面与圆柱体 2 的底面相交于两条线段 PQ 和 RS。这两条线段的交点 M 就是圆柱体相交的中心点。

4. 绘制卵形线：连接 M 点与圆柱体 1 的侧面上任意一点 N，再连接 N 点与圆柱体 2 侧面上任意一点 L。继续这个过程，连接 M 点与所有其他点，即可得到笛卡尔卵形线。

笛卡尔卵形线是一个对称于圆柱体相交平面的复杂图形。它具有椭圆形和双曲线的特征，并且具有独特的数学和视觉性质。