四边形对角面积乘积相等（对角面积乘积相等 怎么推出来的）



1、四边形对角面积乘积相等

四边形对角面积乘积相等

在平面几何中，存在这样一个定理：四边形两条对角线的长乘积等于四边形的面积。这个定理可以应用于各种四边形，包括矩形、平行四边形和梯形等。

证明：设四边形ABCD为任意四边形，两条对角线AC和BD相交于点O。以O为中心，作一个半径为r的圆。

首先证明：△AOB∽△COD。

因为∠AOB = ∠COD（对顶角），且OB = OD（圆心到弦的距离相等），所以△AOB∽△COD。

根据相似三角形的性质，有：

AO/OC = OB/OD = r/r = 1

因此，AO = OC。

同理，可以证明：BO = OD。

其次证明：△AOD∽△BOC。

因为∠AOD = ∠BOC（对顶角），且OD = OB（圆心到弦的距离相等），所以△AOD∽△BOC。

根据相似三角形的性质，有：

AO/BO = OD/OC = r/r = 1

因此，AO = BO。

AO = BO = OC = OD = r。

因此，四边形ABCD的面积为：

S = 1/2(AC)(BD) = 1/2(2r)(2r) = 2r^2

另一方面，四边形ABCD的对角线长乘积为：

AC × BD = 2r × 2r = 4r^2

因此，四边形ABCD的对角线长乘积等于其面积。

2、对角面积乘积相等 怎么推出来的

对角面积乘积相等是平行四边形的一个重要性质。其推导过程如下：

设平行四边形ABCD，其中对角线为AC和BD。作垂线AE和CF，分别垂直于对角线AC和BD。

根据相似三角形定理，有：

△ABE ∽ △ACD，因为∠ABE ? ∠ACD（同位角）且∠AEB ? ∠ADC（同位角）。

因此，AE/AC = AB/AD ... (1)

同理，可得：

CF/BD = BC/AB ... (2)

将式(1)和式(2)相乘，得：

(AE/AC) (CF/BD) = (AB/AD) (BC/AB)

=> AE CF/AC BD = BC/AD

=> AC BD = AE CF

因此，平行四边形ABCD的对角面积乘积相等，即：AC BD = AE CF。

3、对角长方形面积乘积相等 证明

对角长方形面积乘积相等证明

定理：

两个对角长方形的面积乘积相等。

证明：

设两个对角长方形的边长分别为 a、b 和 c、d。

由于是对角长方形，因此我们有：

a + b = c + d

2a + 2b = 2c + 2d

a + b = c + d

因此，我们有：

```

a = c

b = d

```

故两个长方形的面积相等：

```

ab = cd

```

因此，两个对角长方形的面积乘积相等。

证毕。

推论：

平行四边形的对角线互相垂直时，其面积等于两组对角线长度乘积的一半。

菱形的对角线互相垂直时，其面积等于对角线长度乘积的一半。

4、平行四边形对角面积乘积相等

平行四边形的对角线面积乘积相等

平行四边形是一种常见的几何图形，它由四条边和两个对角线组成。平行四边形的对角线面积乘积相等，这是一个重要的几何性质。

证明：

设平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于点 O。

1. 三角形 AOB 和 COD 相似

AO = OC，OB = OD（因为 O 是对角线的交点）

∠AOB = ∠COD（对顶角相等）

∠ABO = ∠CDO（平行四边形的对边平行）

因此，△AOB ~ △COD。

2. 三角形 AOB 的面积和三角形 COD 的面积相等

由于 △AOB ~ △COD，所以：

S△AOB / S△COD = (AO / CO)^2

但 AO = CO，所以：

S△AOB = S△COD

3. 三角形 AOB 的面积是平行四边形 ABCD 面积的二分之一

因为对角线 AC 将平行四边形 ABCD 分成两个相等的部分，所以：

S△AOB = 1/2 SABCD

4. 三角形 COD 的面积是平行四边形 ABCD 面积的二分之一

同理，

S△COD = 1/2 SABCD

5. 对角线的面积乘积相等

将 2 和 3、4 相乘，可得：

S△AOB S△COD = 1/4 SABCD^2

根据平行四边形对角线性质，对角线 AC 和 BD 相互垂直，因此 AC = BD。令对角线长度为 d，平行四边形面积为 S，则：

S△AOB S△COD = 1/4 S^2

d^2 = 1/4 S^2

d^2 S^2 = (1/4 S^2) S^2 = 1/4 S^4

因此，平行四边形对角线的面积乘积相等，即 d^2 S^2 = 1/4 S^4。