两平面相互垂直（两平面相互垂直,则一平面内的直线必然垂直于另一平面）

1、两平面相互垂直

两平面相互垂直的条件

在三维空间中，两平面相互垂直指的是它们的法向量是垂直的。法向量是指垂直于平面上的任意直线。

如果两个平面相互垂直，那么它们满足以下条件：

它们的法向量点积为零：设两个平面为 P1 和 P2，法向量分别为 n1 和 n2，则 n1 · n2 = 0。

它们的一个公共点与两平面的法向量共面：这意味着存在一点 M，使得它在 P1 和 P2 上，并且 n1、n2、M 共面。

证明：

设两个平面为 P1: ax + by + cz + d1 = 0 和 P2: px + qy + rz + d2 = 0。

则它们的法向量为 n1 = (a, b, c) 和 n2 = (p, q, r)。

如果 n1 · n2 = 0，则 ap + bq + cr = 0，这表明法向量垂直。

如果 M(x0, y0, z0) 在 P1 和 P2 上，则 ax0 + by0 + cz0 + d1 = 0 和 px0 + qy0 + rz0 + d2 = 0。

两式相减得到 a(x0 - x1) + b(y0 - y1) + c(z0 - z1) = 0，其中 (x1, y1, z1) 是 P1 上任意一点。

这表明点 M 与 n1 共面。类似地，也可以证明 M 与 n2 共面。因此，点 M 与 n1、n2 共面，即两平面的法向量共面。

因此，如果两个平面满足 n1 · n2 = 0 和点 M 与两法向量共面，则它们相互垂直。

2、两平面相互垂直,则一平面内的直线必然垂直于另一平面

当两平面相互垂直时，其平面法线也必定互相垂直。平面法线是垂直于平面的向量，因此，如果两个平面法线垂直，则这两个平面也必须垂直。

现在，考虑一个平面内的一条直线。这条直线与平面内任一其他直线平行，它们都与平面法线垂直。由于平面法线垂直于另一平面的法线，因此这条直线也与另一平面法线垂直。

根据定义，垂直于平面的直线被称为斜线。因此，我们可以得出如果两平面相互垂直，则一平面内的任意直线都垂直于另一平面。

这个性质在几何学和应用中都有广泛的应用，例如：

空间中两个平行的平面之间的距离等于一条斜线（垂直于一个平面）的长度。

空间中两条相交直线之间的距离等于一个斜线（垂直于包含两条直线的平面）的长度。

在建筑和工程中，用于创建水平和垂直表面（例如墙壁和天花板）的工具通常依赖于这两个平面的相互垂直性。

3、两平面相互垂直,则由属于第一个平面的任意一点

当两平面相互垂直时，则由属于第一个平面的任意一点，沿任意方向引出的直线都垂直于第二个平面。也就是说，这些直线与第二个平面的交点都在一个平面上，这个平面就是垂直于两平面的第三个平面。

为了证明这一点，我们可以考虑一个具体的情况。假设平面 P1 和 P2 相互垂直，点 A 属于 P1，且由点 A 沿方向 v 引出了一条直线 l。由于 P1 和 P2 相互垂直，所以 l 与 P2 的交点 B 必须在垂直于 P1 和 P2 的第三个平面上。

进一步地，我们可以证明，由 A 点沿任意方向引出的所有直线都与 P2 相交于同一点 B。这是因为，如果另一条由 A 点沿方向 v' 引出的直线 l' 与 P2 相交于点 C，那么 l 和 l' 都与 P2 垂直，并且 l' 也位于第三个平面上。但是，根据垂直平面的定义，与同一平面垂直的两条直线必须相交于一个点。因此，l 和 l' 相交于同一点 B。

由属于第一个平面 P1 的任意一点 A 沿任意方向引出的直线都与第二个平面 P2 相交于同一点 B，该点位于垂直于 P1 和 P2 的第三个平面上。

4、两平面相互垂直时,它们的两面角为什么角

当两个平面相互垂直时，它们的两面角为何为直角？

设这两个平面为平面α和平面β，它们的交线为直线l。根据平面垂直的定义，平面α上的任意一条直线都与平面β垂直。

取平面α上的任意一条直线a，它与交线l垂直。同理，取平面β上的任意一条直线b，它也与交线l垂直。

根据三垂线定理，两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线平行。因此，直线a和直线b平行。

由于直线a和直线b分别属于平面α和平面β，平面α和平面β所张的两面角可以表示为由直线a和直线b所成的平面角。

平行线的平面角为直角，因此由直线a和直线b所成的平面角为直角。也就意味着，当两个平面相互垂直时，它们的两面角为直角。