与球面相切的平面（与球面x2+y2+z2=9相切于点221的平面方程）



1、与球面相切的平面

与球面相切的平面是指与球面只有一个共同点的平面。这个共同点称为切点。根据球面和相切平面的位置关系，可以分为以下几种情况：

外切平面：相切平面位于球心的同侧，球面与平面相交形成一个圆。切点的直径垂直于相切平面。

内切平面：相切平面位于球心的异侧，球面与平面相交形成一个圆。切点的直径与相切平面平行。

过球心的平面：相切平面经过球心，球面与平面相交形成一个大圆。

性质：

相切平面的法线过切点并垂直于切点所在的球面直径。

球面与相切平面的距离等于球面半径。

对于外切平面，球面直径与相切平面相交于切点外。

对于内切平面，球面直径与相切平面相交于切点内。

应用：

与球面相切的平面在几何学和物理学中有广泛的应用，例如：

求解球面上的几何问题，如求球心到切点长度等。

计算光线在球面上的反射和折射路径。

设计球面镜和透镜。

2、与球面x2+y2+z2=9相切于点221的平面方程

设所求平面方程为Ax + By + Cz + D = 0。因平面与球面相切于点（2, 2, 1），故有：

2A + 2B + C + D = 9 ...(1)

且平面法向量（A, B, C）垂直于切点（2, 2, 1）上球面的法向量（4, 4, 2），即：

4A + 4B + 2C = 0 ...(2)

解方程组 (1) 和 (2)，得：

A = -1/2

B = -1/2

C = 2

D = 6

将所得值代回平面方程，得：

-(1/2)x -(1/2)y + 2z + 6 = 0

即所求平面方程为：

x + y - 4z - 12 = 0

3、与两球面均相切的圆柱面方程

两球面相切于圆柱面的中心轴，并且圆柱面的半径与两球面的半径之和相等。设两球面的半径分别为 r1 和 r2，圆柱面的半径为 R，圆柱面的中心轴为 z 轴，则圆柱面的方程为：

(x^2 + y^2) = (R^2 - r1^2 - r2^2)^2 / 4r1r2

其中，z 轴与圆柱面对应的截面圆心在原点处。

推导过程如下：

设两球面的圆心分别为 C1(0, 0, r1) 和 C2(0, 0, -r2)。圆柱面的中心轴为 z 轴，则圆柱面的中心 C 为 (0, 0, 0)。设圆柱面的半径为 R。

由于圆柱面的中心轴与两球面相切，因此：

R + r1 = |C - C1| = √(r1^2) = r1

R + r2 = |C - C2| = √(r2^2) = r2

两式相加，得：

2R = r1 + r2

R = (r1 + r2) / 2

因此，圆柱面的半径 R 等于两球面的半径之和的一半。

再设圆柱面与两球面对应的截面圆心分别为 P1(0, 0, z1) 和 P2(0, 0, z2)。由于圆柱面的中心轴与两球面相切，因此：

z1 = r1

z2 = -r2

因此，圆柱面与两球面对应的截面圆心与两球面的圆心在 z 轴上对称。

同时，由于圆柱面的半径 R 等于两球面的半径之和的一半，因此：

|P1 - P2| = 2R = r1 + r2

因此，圆柱面与两球面对应的截面圆心之间的距离等于两球面半径之和。

两球面相切于圆柱面的中心轴，并且圆柱面的半径与两球面的半径之和相等，则圆柱面的方程为：

(x^2 + y^2) = (R^2 - r1^2 - r2^2)^2 / 4r1r2

4、平面与球面相切求平面方程

平面与球面相切求平面方程

设球面的方程为：

$$x^2 + y^2 + z^2 + Dx + Ey + Fz + G = 0$$

切平面方程为：

$$Ax + By + Cz + D = 0$$

切点坐标为 (x0, y0, z0)。

根据相切条件，切平面法线向量与球面法线向量在切点处相等。即：

$$ = <2x_0, 2y_0, 2z_0>$$

因此：

$$A = 2x_0, \quad B = 2y_0, \quad C = 2z_0$$

同时，球面方程在切点处取值应为 0。即：

$$x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 + Dx_0 + Ey_0 + Fz_0 + G = 0$$

将 A、B、C 的值代入切平面方程，整理可得：

$$2x_0x + 2y_0y + 2z_0z + D = 0$$

移项后得到平面方程：

$$2(xx_0 + yy_0 + zz_0) = -D$$

即：

$$\boxed{xx_0 + yy_0 + zz_0 = -\frac{D}{2}}$$