两线平行三角形面积相等（两条平行线之间的三个图形的面积相比）



1、两线平行三角形面积相等

当两条平行线截割一系列平行线时，截得的三角形面积相等。这一几何性质被称为“两线平行三角形面积相等定理”。

证明方法如下：

设两条平行线 AB 和 CD 分别截取一组平行线 EF、GH、IJ 和 KL。连接点 E、G、I 和 L，形成三角形 EFK、GHL、IKJ 和 LKM。

由于 AB 和 CD 平行，因此三角形 EFK 和 LKM 是相似三角形。同样，三角形 GHL 和 IJK 也是相似三角形。

根据相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例。因此，

EF/KM = FK/LM = EK/KL

同样，

GH/LJ = HL/JK = GL/IJ

由于 EF 平行于 GH，因此 EFGH 是一个平行四边形，所以 EF = GH。同样，因为 IJ 平行于 KL，因此 IJ = KL。

将 EF = GH 和 IJ = KL 代入上式，可得：

KM/LM = LM/JK = EK/LJ

根据乘积相等定理，有：

KM × LJ = LM × EK

即三角形 EFK 的面积等于三角形 LKM 的面积。

同理，可以证明三角形 GHL 的面积等于三角形 IJK 的面积。因此，定理得证。

这个定理在几何学中有广泛的应用，例如：

计算四边形或多边形的面积

证明几何图形的相似性

解决几何构造问题

2、两条平行线之间的三个图形的面积相比

设两条平行线之间的距离为 h，第一条线上的图形为矩形，长为 a，宽为 b；第二条线上的图形为三角形，底边为 c，高为 d；第三条线上的图形为圆形，半径为 r。

矩形的面积为 ab，三角形的面积为 1/2 cd，圆形的面积为 πr^2。

由平行线之间的距离相等，可得：b = d

因此，三条线上的图形的面积之比为：

矩形面积：三角形面积：圆形面积 = a：1/2 c：πr^2

化简后得到：

矩形面积：三角形面积：圆形面积 = 2a：c：2πr^2

这个比例表示，矩形的面积是三角形面积的两倍，是圆形面积的 2a/2πr^2 倍。换句话说，矩形的面积与三角形面积的比值等于圆周率 π 的两倍，并与圆的半径成反比。

3、平行线之间的三角形面积相等的推理

设平行线 l 和 m 被割线 AB 和 CD 所截 得两组平行线之间的三角形△ABC 和△ADC。

定理：

如果两条平行线被两条割线所截得的三角形底边相等，则两三角形面积相等。

证明：

假设 AB = CD。

在△ABC 中，作 AD 的平行线 EF，交 AC 于 F。

则△ABE ∽ △ADF。

∴ AE / AF = BE / DF（相似三角形对应边成比例）

∴ AE / BE = AF / DF（比例式交换中项）

∴ AE / BE = AF / DF = 1（平行线截得的线段比相等）

∴ AE = BE，AF = DF.

因此，△ABE ≡ △ADF（两边和夹角相等）。

故 △ABC 和 △ADC 的面积相等。

证毕。

当两条平行线被两条割线所截得的三角形底边相等时，两三角形面积相等。

4、两条平行线之间的三角形面积相等

设有两条平行线 l1 和 l2，AB 和 CD 为这两条直线之间的两条平行线段，且 AB = CD。则 ΔABC 和 ΔCDA 的面积相等。

证明：

从 A 点作 AF ⊥ l1，从 C 点作 CE ⊥ l1，则 AF = CE（因为 AB = CD）。

由于 l1 和 l2 平行，因此 AF // CE。

因此，ΔABC 和 ΔCDA 是平行四边形。

由平行四边形的性质可知，面积公式为：

ΔABC = AB × AF

ΔCDA = CD × CE

由于 AB = CD，AF = CE，因此：

ΔABC = ΔCDA

两条平行线之间的三角形面积相等。