两个圆相交求阴影部分面积（两个圆相交求阴影部分面积,小圆半径是2,大圆是6）



1、两个圆相交求阴影部分面积

两个圆相交的阴影部分面积计算

当两个圆相交时，它们的阴影部分形成了一个新月形区域。要计算此阴影部分的面积，需要考虑圆的半径和相交的面积。

设两个圆的半径分别为r1和r2，相交的面积为A。阴影部分的面积可以分为两个部分：

较小的圆的一部分：阴影部分的较小部分是较小的圆减去重叠的扇形部分。扇形部分的面积为(A/360) π r1^2。

较大的圆的一部分：阴影部分的较大部分是较大的圆减去重叠的扇形部分。扇形部分的面积为(A/360) π r2^2。

因此，阴影部分的总面积为：

阴影部分面积 = 较小圆的面积 - 较小圆重叠扇形面积 + 较大圆的面积 - 较大圆重叠扇形面积

= π (r1^2 + r2^2) - (A/360) π (r1^2 + r2^2)

= π (r1^2 + r2^2) - (A/360) π (2 (r1^2 + r2^2))

= π (r1^2 + r2^2) (1 - (2 A/360))

需要注意的是，A是两个圆相交的面积，可以通过以下公式计算：

A = (r1 + r2)^2 θ / 2 - (r1^2 + r2^2) sin θ / 2

其中θ是两个圆相交的部分的圆心角，可以用反余弦函数计算。

2、两个圆相交求阴影部分面积,小圆半径是2,大圆是6

已知两个圆心距为8，半径分别为2和6，求两圆相交部分面积。

首先求得两圆相交弦长，根据两圆心距定理，有：

弦长 = √((2R)2 - (r+R)2) = √(36 - 36) = 0

因此，两圆相交于两点，且弦长为0，说明两个圆相交于两点，但没有重叠区域。

因此，两圆相交部分面积为：

阴影部分面积 = 0

3、两个圆相交求阴影部分面积,圆心在相交内部

两个圆相交求阴影部分面积

当两个圆心在相交内部时，阴影部分是一个月牙形区域。求解其面积需要使用三角形和扇形的面积公式。

步骤：

1. 求出两个圆半径之和 R 和差 r。

2. 求出相交弦长 AB 的长度，公式为：AB = √(R2 - r2)

3. 求出弦心距 d，公式为：d = √(R2 - AB2/4)

4. 求出小圆半圆的面积 S1，公式为：S1 = πr2/2

5. 求出小圆被大圆截下的扇形的面积 S2，公式为：S2 = (πR2/360°) (θ - sinθ)

6. 其中，θ 为扇形的中心角，计算公式为：θ = 2sin?1(AB/2R)

阴影部分的面积 S 为：

S = S1 - S2

示例：

两个圆半径分别为 5 和 3，求交点处阴影部分的面积。

解：

1. R = 5，r = 3，AB = √(52 - 32) = 4

2. d = √(52 - 42/4) = 3

3. S1 = π(32)/2 = 9π/2

4. θ = 2sin?1(4/2(5)) = 60°

5. S2 = (π(52)/360°) (60° - sin60°) = 5π/3

因此，阴影部分的面积 S = 9π/2 - 5π/3 = 11π/6。

4、两个圆相交求阴影部分面积最简单的方法是

求两个圆相交阴影部分面积最简单的方法是：

1. 分解为四分之一圆形：将两个圆相交部分分解为四个四分之一圆形，计算每个四分之一圆形的面积。

2. 减去重复区域：两个相交的四分之一圆形之间存在重叠区域，需要从总面积中减去重叠区域的面积。

3. 相加获得总面积：将四个四分之一圆形的面积求和后，减去重叠区域的面积，即可得到相交阴影部分的总面积。

具体公式如下：

设两个圆的半径分别为 r1 和 r2，圆心间距离为 d。

阴影部分面积 = (π/4) (r1^2 + r2^2) - (π/4) (x^2 + y^2)

其中，x 和 y 分别为垂直和水平重叠区域的边长，可通过三角形相似性求解：

x = (d/2) (r1 - r2) / √(d^2 - (r1 - r2)^2)

y = (d/2) (r2 - r1) / √(d^2 - (r1 - r2)^2)