两半圆相交求阴影部分面积（两半圆相交求阴影面积比例三段长度相同）



1、两半圆相交求阴影部分面积

两半圆相交求阴影部分面积

当两个半圆相交时，阴影部分的面积可以分两部分求得：

半圆 1 的阴影部分：

设半圆 1 的半径为 r1，则其面积为 πr1^2/2。

半圆 2 的阴影部分：

设半圆 2 的半径为 r2，与半圆 1 相交的部分半径为 r，则半圆 2 的阴影部分面积为 πr^2/2 - π(r2 - r)^2/2 = π(2r2r - r^2)/2

总阴影部分面积：

因此，两半圆相交产生的阴影部分的总面积为：

A = π(r1^2/2 + 2r2r - r^2)/2

特殊情况：

当两个半圆的半径相等时，r = r1 = r2，阴影部分面积变为：

A = πr2

当两个半圆的半径不相等且相交部分较小时，阴影部分面积近似为半圆 1 的阴影部分面积：

A ≈ πr1^2/2

2、两半圆相交求阴影面积比例三段长度相同

设两半圆相交的直径为 d，其相交部分的弦长为 l。

证明：

1. 阴影面积的比值：

阴影面积比为阴影面积 1 / 阴影面积 2。阴影面积 1 = 1/4πd2 - 1/4π(d-l)2 = 1/4π(d2-d2+2ld-l2) = 1/4π(2ld-l2)。阴影面积 2 = 1/4π(d2-d2+2ld-l2) = 1/4π(2ld-l2)。因此，阴影面积比为 1/4π(2ld-l2) / 1/4π(2ld-l2) = 1。

2. 三段长度相同：

两半圆相交，形成一个共点圆。圆心到弦长两端的距离相等，即 OA = OB = OD = d/2。

3.

阴影面积比为 1，三段长度相同，即 OA = OB = OD = d/2。

推论：

如果两半圆相交的直径和弦长相等，则阴影面积相等，且三段连接弦长两端和圆心的线段长度相等。

3、两半圆相交求阴影面积的例题

两半圆相交求阴影面积例题

题目：

如图，两半圆半径分别为 R1 和 R2，它们的圆心距离为 d，求阴影部分的面积。

解法：

1. 计算两半圆的相交面积S1：

相交部分为两个扇形，面积分别为 θ1R1^2/2 和 θ2R2^2/2，其中 θ1 和 θ2 是相交圆弧所对的圆心角。根据两半圆的圆心距 d，可以求得 θ1 和 θ2：

θ1 = 2arcsin(d / 2R1)

θ2 = 2arcsin(d / 2R2)

所以，相交面积 S1 = θ1R1^2/2 + θ2R2^2/2。

2. 计算两个半圆剩下的扇形面积S2：

剩下的部分为两个扇形，面积分别为 πR1^2/2 - S1 和 πR2^2/2 - S1。

3. 计算阴影面积阴影部分：

阴影部分为两个半圆减去相交部分，即阴影面积为：

```

S = πR1^2/2 + πR2^2/2 - S1

```

答案：

阴影面积 S = πR1^2/2 + πR2^2/2 - [θ1R1^2/2 + θ2R2^2/2]

4、两个半圆相交求阴影周长分析

两个半圆相交的阴影部分是一个类似于花生的形状。为了分析其周长，我们需要将其分解为更小的部分。

我们有半圆弧的长度，记为 L1 和 L2。由于半圆的半径相等，因此 L1 = L2。我们有交点处形成的四个小弧线，记为 l1、l2、l3 和 l4。这些小弧线的长度取决于半圆的半径和交角。

接下来，我们计算直线部分的长度，记为 d。d 等于两个小弧线 l1 和 l3 之间的距离。阴影周长可以表示为：

阴影周长 = 2 (L1 + L2) + 4 (l1 + l2 + l3 + l4) + d

要确定具体值，我们需要知道半圆的半径和交角。可以通过几何定理或测量来获得这些值。

分析阴影周长时需要注意以下几点：

半圆弧的长度与半径成正比。

交角越大，小弧线的长度越小，直线部分越长。

阴影周长是一个非线性函数，取决于半径和交角的组合。

通过分析阴影周长的组成部分，我们可以理解其长度的变化，并根据不同的几何参数进行预测。