两条直线的三面投影全部相交（两直线的三面投影都相交时,则空间两直线就一定）

1、两条直线的三面投影全部相交

两条直线的三面投影相交于一点是投影几何中的基本定理，称为“三面投影定理”。该定理指出，如果两条直线在三面投影中都相互相交，那么这两条直线在空间中也相互相交。

证明：

设直线l和m在水平投影、俯视图和侧视图中分别相交于点P、Q和R。根据投影原理，P、Q和R分别是水平投影、俯视图和侧视图上的投影点。

水平投影中，P点位于直线l和m的投影上，因此直线l和m在水平面上投影相交。

俯视图中，Q点位于直线l和m的投影上，因此直线l和m在竖直面上投影相交。

侧视图中，R点位于直线l和m的投影上，因此直线l和m在侧面上投影相交。

由于三面投影是三维空间到二维平面的映射，因此在投影中相交的直线在空间中也相交。因此，直线l和m在空间中相交。

三面投影定理在几何作图和空间关系分析中有着广泛的应用。例如，它可以用来确定两条直线的相对位置、求解几何问题，以及绘制三维物体的三面投影。

2、两直线的三面投影都相交时,则空间两直线就一定

当两条直线的三个面投影都在同一平面上相交时，空间中的两条直线并非一定相交。

为了理解这一点，让我们考虑以下情况：

假设两条直线 L1 和 L2 的投影在 xy 平面、xz 平面和 yz 平面上都相交于同一点。这意味着 L1 和 L2 在这些平面上都共线。在三维空间中，直线可以平行而不相交。

举个例子，考虑两条平行直线 L1 和 L2，它们都在 xy 平面上。通过 xy 平面作一条与 L1 和 L2 平行的直线 L3。此时，L1 和 L2 的所有三个投影都将在 xy 平面上相交于同一点。L1 和 L2 在三维空间中平行，因此不会相交。

因此，当两条直线的三个平面投影都在同一平面上相交时，空间中的两条直线并不一定相交。相反，它们可以是平行的，在这种情况下，它们不会相交。

3、两直线相交,其三面投影必然相交,并且交点

设两直线 $L_1$ 和 $L_2$ 相交于点 $P$，它们的三个面投影分别为 $L_{11}, L_{12}, L_{13}$ 和 $L_{21}, L_{22}, L_{23}$。

根据平行投影的性质，投影线平行于投影面，因此 $L_{11}, L_{12}, L_{13}$ 平行于 $L_1$，$L_{21}, L_{22}, L_{23}$ 平行于 $L_2$。

由于 $L_1$ 和 $L_2$ 相交，所以它们的投影 $L_{11}, L_{12}, L_{13}$ 和 $L_{21}, L_{22}, L_{23}$ 也必然会相交。

交点为：

$L_{11}\cap L_{21}$

$L_{12}\cap L_{22}$

$L_{13}\cap L_{23}$

这三个交点在同一投影面上，因此它们代表了点 $P$ 在该投影面上的投影。

由于投影是线性的，因此这三个投影线交于同一点，即 $P$ 的投影。

因此，两直线相交，其三面投影必然相交，交点为 $P$ 的投影。

4、两条直线三面投影都相交,该两直线一定相交

两条直线在三面投影上相交，并不一定意味着它们在三维空间中相交。

为了理解这一点，考虑以下示例：

a）平行直线：两条平行的直线在所有三个投影面上都会相交，但在空间中永远不会相交。

b）平行于投射平面的直线：一条平行于投射平面的直线将在该平面上与任何其他直线相交，但可能永远不会与这些直线在空间中相交。

c）重合的投影：两条直线可能在两个或三个投影面上重叠，但如果它们不在空间中相交，则在第三个投影面上会分开。

如果两条直线在三面投影上相交，并且它们不在上述特殊情况下，那么它们一定会在三维空间中相交。

这是因为三面投影本质上是将三维物体投射到三个二维平面上的过程。如果两条直线在所有三个投影面上相交，则这意味着它们在投影平面之间没有分叉。因此，它们在空间中也必须相交。

两条直线在三面投影上相交并不总是意味着它们在空间中相交。只有当它们不在特殊情况下时，我们才能得出它们在空间中相交的。