求与两异面直线垂直且相交的直线（两异面直线间的距离等于它们公垂线的长）
- 作者: 陈玺越
- 来源: 投稿
- 2024-10-21
1、求与两异面直线垂直且相交的直线
求与两异面直线垂直且相交的直线
设两条异面直线为 l: x = a1 + bt, y = c1 + dt 和 m: x = a2 + e, y = c2 + f。求一条直线与 l 和 m 都垂直且与这两条直线相交。
解法：
1. 求直线 n 的方向向量：
直线 n 与 l 和 m 都垂直，因此 n 的方向向量 v 必须垂直 l 和 m 的方向向量。设 l 的方向向量为 u = (b, d) 且 m 的方向向量为 w = (e, f)。
v 垂直于 u 和 w 当且仅当：v·u = 0 且 v·w = 0
由此得到两个方程组：
bv + dw = 0
ev + fw = 0
解此方程组得到 v 的两个分量。
2. 求直线 n 的一个点：
n 与 l 和 m 相交，这意味着 n 上存在点分别在 l 和 m 上。设 n 与 l 的交点为 (x1, y1) 且与 m 的交点为 (x2, y2)。
由 l 的参数方程可得：
```
(x1 - a1)/b = (y1 - c1)/d = t1
```
由 m 的参数方程可得：
```
(x2 - a2)/e = (y2 - c2)/f = t2
```
由 n 的方向向量 v 和点 (x1, y1) 可得：
```
x = x1 + vt
y = y1 + wt
```
3. 确定参数 t1 和 t2：
将 (x1, y1) 代入 n 的参数方程，得到：
```
x1 + vt = (a1 + bt1, c1 + dt1)
y1 + wt = (c1 + dt1)
```
将 (x2, y2) 代入 n 的参数方程，得到：
```
x2 + vt = (a2 + et2, c2 + ft2)
y2 + wt = (c2 + ft2)
```
解这两个方程组得到 t1 和 t2 的值。
由此，求得与两条异面直线垂直且相交的直线 n。
2、两异面直线间的距离等于它们公垂线的长
如果两条直线互相平行，则它们之间的距离始终保持不变。但是，如果两条直线相交或平行，则它们的距离由两条直线与它们公共垂直线的距离决定。
两异面直线间的距离是指这两条直线所所在的平面之间的距离。这条距离可以转化为这两条直线对公共垂直线的投影之间的距离。对于两条异面直线$l_1$和$l_2$，可以找到一条公共垂直线$m$，它垂直于两条直线所在的平面。
设$P_1$和$P_2$分别为$l_1$和$l_2$上任意两点，$Q_1$和$Q_2$分别为$P_1$和$P_2$在$m$上的投影。那么，两异面直线$l_1$和$l_2$之间的距离等于$Q_1Q_2$的长度，即：
$$d(l_1, l_2) = |Q_1Q_2|$$
这个公式可以推广到空间中的任何两条异面直线。它在工程、物理和其他领域中有广泛的应用，如计算两条平行电线之间的电容或确定两条道路之间的最短距离。
3、与两异面直线相交的直线方程
当一个平面内存在两条异面直线时，我们可能需要求出一条与这两条直线都相交的直线。以下是如何计算该直线方程的步骤：
步骤 1：确定两条异面直线方程
直线 1：
```
x = a1 + b1 t
y = c1 + d1 t
z = e1 + f1 t
```
直线 2：
```
x = a2 + b2 t
y = c2 + d2 t
z = e2 + f2 t
```
步骤 2：联立两条直线方程
我们将两条直线的方程联立起来，消去参数 t，得到一个新的方程：
```
(b1 - b2)x + (d1 - d2)y + (f1 - f2)z = (a2 - a1) (f1 - f2) - (e2 - e1) (b1 - b2)
```
步骤 3：整理方程
我们整理以上方程，得到与两条异面直线相交的直线方程：
```
Ax + By + Cz + D = 0
```
其中，系数 A、B、C 和 D 的具体值可根据两条异面直线的方程计算得到。
这个新方程所描述的直线既与直线 1 相交，也与直线 2 相交。该直线可以作为两条异面直线之间的公垂线或斜交线。
4、求两异面直线的距离和公垂线
在空间几何中，求取两异面直线的距离和公垂线是一道经典题型。
求两异面直线的距离
两异面直线距离指两直线上最短的线段，即这两直线的公垂线。求解步骤如下：
1. 建立空间直角坐标系：选择其中一条直线为x轴，该直线所在平面为xOz平面。另一条直线与x轴的夹角为θ，则其在xOz平面的投影与x轴的夹角为α。
2. 确定直线的方程：已知直线l1过点（0，a1，b1），方向向量为（c1，d1，e1），其方程为：
```
x = c1t
y = a1 + d1t
z = b1 + e1t
```
同样，直线l2过点（0，a2，b2），方向向量为（c2，d2，e2），其方程为：
```
x = c2s
y = a2 + d2s
z = b2 + e2s
```
3. 求公垂线向量：公垂线向量垂直于两直线的方向向量，其坐标为：
```
v = (c1d2 - c2d1, d1e2 - d2e1, e1c2 - e2c1)
```
4. 求公垂线的参数方程：公垂线过点（0，a1，b1），且平行于向量v，其参数方程为：
```
x = v1t
y = a1 + v2t
z = b1 + v3t
```
5. 求直线l1上公垂线交点：设公垂线与l1交于点（x1，y1，z1），将其参数代入l1的方程得到：
```
x1 = c1t1
y1 = a1 + d1t1
z1 = b1 + e1t1
```
6. 求直线l2上公垂线交点：同样地，将其参数代入l2的方程得到：
```
x2 = c2t2
y2 = a2 + d2t2
z2 = b2 + e2t2
```
7. 求两交点间距离：利用距离公式计算两交点间的距离，即两异面直线的距离。
求公垂线
公垂线即两异面直线距离最短的线段，其方程即为公垂线向量v的参数方程。
