求与曲面相切的平面（求与曲面相切的平面为什么是用两个法向量作比）
- 作者: 朱闰颜
- 来源: 投稿
- 2024-10-22
1、求与曲面相切的平面
曲面与平面的相切问题在几何学中有广泛的应用，它涉及到确定通过给定点与曲面相切的平面的方法。
切平面的存在性和唯一性
如果曲面在给定点处可微分，则存在唯一一个通过该点与曲面相切的平面。
如果曲面在给定点处不可微分，则可能存在多个相切平面，或者根本不存在相切平面。
求相切平面的方法
对于可微曲面，求相切平面的常见方法有：
法向量法：在给定点处，曲面的法向量与相切平面垂直。
梯度的法向量法：对于可微曲面 S(x, y)，在给定点 (x0, y0) 处的法向量为梯度向量：?S(x0, y0)。
泰勒展开法：将曲面在给定点 (x0, y0) 处的泰勒展开截断到一阶项，得到一个线性函数。该线性函数的平面就是相切平面。
应用
求曲面与平面的相切问题在几何学、物理学和工程学等领域有着广泛的应用。
几何学：求曲面上的切线和切平面，确定曲面的曲率。
物理学：计算流体动力学中的界面张力，研究电磁场中的电位分布。
工程学：设计与曲面相接触的结构，如齿轮或轴承。
通过理解求与曲面相切的平面方法，我们可以解决几何学和科学中的各种问题。
2、求与曲面相切的平面为什么是用两个法向量作比
切于曲面的平面与法向量的关系
对于一条给定的曲线，在该曲线上任意一点处存在无数条与曲线相切的平面。为了确定一条唯一的切平面，需要借助曲面法向量的概念。
法向量是与曲面特定点处的切平面垂直的向量。对于一个曲面，在任意一点上可以定义无数个法向量，形成法向量的族。
现在考虑一个曲面和过该曲面上某一点 P 的一条切平面。该切平面可以由两个法向量 n 和 m 唯一确定。
平面通过点 P，因此其法向量与连接点 P 和原点的向量 OP 垂直。因此，有：
OP · n = 0
OP · m = 0
由于 n 和 m 都与 OP 垂直，它们必然线性相关。也就是说，存在一个常数 k，使得：
m = kn
将此代入第二个方程，得到：
OP · kn = 0
由于 k 是非零常数，因此：
OP · n = 0
这表明向量 n 是切平面的法向量。
因此，过曲面上一点 P 的切平面可以由两个法向量 n 和 kn 唯一确定，其中 k 是一个非零常数。这个关系揭示了为什么を求与曲面相切的平面要使用两个法向量作比。
3、求与曲面相切的平面面积公式
求与曲面相切的平面面积公式
设曲面上一点为 P(x, y, z)，法线方向向量为 n(A, B, C)，过 P 点与法向量 n 成 θ 角的平面与曲面相切。
已知曲面的方程为 F(x, y, z) = 0，则曲面在点 P 处的切平面方程为：
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
其中，(x0, y0, z0) 为点 P 的坐标。
公式推导：
由平面与法向量的夹角 θ 可得：
```
cos θ = (A A + B B + C C) / (A^2 + B^2 + C^2)
```
又因为平面与曲面的切点在曲面上，所以平面方程满足：
```
F(x0, y0, z0) = 0
```
对曲面方程求全微分得到：
```
dF = (?F/?x) dx + (?F/?y) dy + (?F/?z) dz
```
在切点处，曲面法线与平面相切，因此有：
```
dF = A dx + B dy + C dz = 0
```
由以上四个方程组，可解得 (x, y, z) 关于 (x0, y0, z0) 的偏导数：
```
?x/?x0 = cos θ / F_x
?y/?x0 = cos θ / F_y
?z/?x0 = cos θ / F_z
```
其中，F_x、F_y、F_z 分别表示 F(x, y, z) 对 x、y、z 的偏导数。
将偏导数代入面积公式：
```
dA = |?x/?x0 dy/?x0 - dx/?x0 dy/?y0| dS
```
整理可得：
```
dA = (cos θ / sqrt(F_x^2 + F_y^2 + F_z^2)) dS
```
此即与曲面相切的平面面积公式。
4、求与曲面相切的平面方程公式
求与曲面相切的平面方程公式
设曲面方程为 F(x, y, z) = 0，与曲面相切的平面法向量为 n = (A, B, C)，则与曲面相切的平面方程为：
Ax + By + Cz + D = 0
其中，D 为平面到原点的距离。
求解该方程时，需要同时满足以下条件：
1. 曲面上一点位于平面上：设 (x?, y?, z?) 为曲面上的一个点，则 (x?, y?, z?) 满足平面方程。
2. 法向量与曲面法向量平行：由于平面与曲面相切，因此平面法向量与曲面法向量平行。曲面法向量为 ?F = (dF/dx, dF/dy, dF/dz)。
3. 法向量与曲面梯度垂直：因为曲面梯度是曲面法向量的负值，所以法向量与曲面梯度垂直，即 n · ?F = 0。
将上述条件代入方程中，可以求得 D 值：
```
D = -Ax? - By? - Cz?
```
将 D 值代入平面方程，即可得到与曲面相切的平面方程。
