两相同圆相交求阴影面积的例题（两相同圆相交求阴影面积的例题及解析）
- 作者: 朱梓昂
- 来源: 投稿
- 2024-05-08
1、两相同圆相交求阴影面积的例题
两相同圆相交求阴影面积
例题：
两半径为 R 的相同圆相交，相交处半圆的直径为 d。求相交部分的阴影面积。
解法：
设圆心到相交处半圆直径端点的距离为 x。
第一步：求相交部分的圆心角 θ
在相交部分的圆心角中，弦长 d 等于 2Rsin(θ/2) 。因此：
d = 2Rsin(θ/2)
第二步：求半圆的面积
相交部分的圆心角为 θ/2，半圆面积为：
```
A = (θ/2)R^2 / 2
```
第三步：求阴影部分的面积
阴影部分是两半圆面积之差：
```
S = A - 2A = -A = - (θ/2)R^2 / 2
```
第四步：求 x
在直角三角形 BCO 中，x^2 + (R - d/2)^2 = R^2。代入 d = 2Rsin(θ/2) 得：
```
x = R(1 - cos(θ/2))
```
第五步：求 θ
将 x 代入 S = -(θ/2)R^2 / 2 得：
```
S = -(θ/2)R^2(1 - cos(θ/2))
```
令导数为 0 求临界点：
```
dS/dθ = -R^2(1/2 - sin(θ/2)) = 0
```
唯一临界点为 θ = π。因此，θ/2 = π/4。
第六步：代入 θ/2 = π/4 求阴影面积
```
S = -(π/4)R^2(1 - cos(π/4)) = -(π/4)R^2(1 - 1/√2)
```
最终结果：
```
S = (π√2 - 4)R^2 / 8
```
2、两相同圆相交求阴影面积的例题及解析
例题：
有两个同圆，半径均为 r，相交于两点 A、B，线段 AB 的长度为 2a。求阴影区域的面积。
解析：
1. 求出阴影区域的范围：
阴影区域由两段圆弧和两条弦组成。两段圆弧的半径均为 r，圆心角为 θ。线段 AB 将圆心角分为两部分，分别为 α 和 β。
2. 求出圆心角 θ：
由于线段 AB 是同圆的直径，因此 α + β = 180°。根据弦长公式，有：
```
2a = 2r sin(θ/2)
```
解得：
```
θ = 2 sin^(-1)(a/r)
```
3. 求出阴影区域的面积：
阴影区域的面积由两段圆弧面积和两条弦的面积组成。
圆弧面积：
```
Area_arc = (θ/360) πr^2
```
弦面积：
```
Area_chord = (1/2) AB r sin(α/2)
```
由于 α = β，因此：
```
Area_chord = (1/2) AB r sin(θ/4)
```
因此，阴影区域的面积为：
```
Area_shadow = 2 Area_arc + 2 Area_chord
```
代入所求 θ 的值，化简得：
```
Area_shadow = πr^2 (sin^(-1)(a/r) - (a/r) sqrt(1 - (a/r)^2))
```
3、两相同圆相交求阴影面积的例题及答案
两相同圆相交求阴影面积例题：
已知两半径为r的同心圆相交，交点角为α度，求两圆阴影部分的面积。
解答：
1. 求圆心角：
圆心角β = 360度 - α度
2. 求阴影扇形面积：
阴影扇形面积A1 = 1/2 r^2 (β/360)
3. 求重叠扇形面积：
重叠扇形面积A2 = 1/2 r^2 (α/360)
4. 求阴影面积：
阴影面积S = A1 - A2
S = 1/2 r^2 ((β - α)/360)
带入已知数据，即可得到阴影面积的公式：
S = 1/2 r^2 (1 - α/180)
4、两相同圆相交求阴影面积的例题讲解
两相同圆相交求阴影面积例题讲解
例题：
有两个半径为 5 的圆，圆心距为 8。求两个圆相交部分的阴影面积。
解题思路：
1. 求两个圆的交弦长：
两个圆的交弦长为圆心距减去两个圆的半径之和，即：
交弦长 = 8 - 5 - 5 = -2
2. 判断圆是否相交：
由于交弦长为负，因此两个圆不相交。
答案：
两个圆相交部分的阴影面积为 0。
扩展：
如果两个圆相交，可以利用以下公式求阴影面积：
阴影面积 = (大圆半径^2 - 小圆半径^2) ∠α / 360
其中，∠α 是两个圆相交部分所成的圆心角，单位为度。
