与平面相切于点的球面方程（求过直线且与球面相切的平面方程）

作者: 陈书瑶
来源: 投稿
2024-12-07

                         ﻿1、与平面相切于点的球面方程平面上一点与球面相切是指平面与球面相交于一个单独的点。此时，球面可以表示为与平面相切于给定点且具有特定半径的方程。
假设平面方程为：
Ax + By + Cz + D = 0
其中 A、B、C、D 是常数，点 P(x?, y?, z?) 是平面上的点。
球面方程的标准形式为：
```
(x - h)2 + (y - k)2 + (z - l)2 = r2
```
其中 (h, k, l) 是球心坐标，r 是球体半径。
当球面与平面相切于点 P 时，球心到平面的距离等于球体的半径。因此，球心到平面的距离公式可以写为：
```
距离 = |(h - x?)A + (k - y?)B + (l - z?)C| / √(A2 + B2 + C2)
```
将距离设为球体半径 r，并代入球面方程，得到与平面相切于点 P 的球面方程：
```
(x - h)2 + (y - k)2 + (z - l)2 = r2
其中，
r = |(h - x?)A + (k - y?)B + (l - z?)C| / √(A2 + B2 + C2)
```
通过确定球心 (h, k, l) 的坐标，可以唯一地确定相切于点 P 的球面方程。
2、求过直线且与球面相切的平面方程求过直线且与球面相切的平面方程
设直线方程为：
$$\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$$
其中 $(x_0,y_0,z_0)$ 为直线上一点。
设球面方程为：
$$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2$$
其中 $(a,b,c)$ 为球心，$r$ 为半径。
构造过直线且与球面相切的平面：
$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)+D=0$$
其中 $A,B,C,D$ 为未知数。
由于平面过直线，因此：
$$Al+Bm+Cn=0$$
由于平面与球面相切，根据几何性质可得：
$$|(a-x_0)A+(b-y_0)B+(c-z_0)C+D|=\sqrt{A^2+B^2+C^2}\cdot r$$
整理得到：
$$(a-x_0)A+(b-y_0)B+(c-z_0)C+D=\pm r\sqrt{A^2+B^2+C^2}$$
联立上述方程组，即可求解出未知数 $A,B,C,D$，进而得到过直线且与球面相切的平面方程。
3、过直线与球面相切的平面方程过直线与球面相切的平面方程
当一条直线与一个球面相切时，它所在平面与球面相切。求解过该直线与球面相切的平面的方程，涉及以下步骤：
1. 确定直线和球面的参数方程：通过直线的点向量形式和球面的标准方程，分别确定直线和球面的参数方程。
2. 建立相切条件：由于平面与球面相切，因此从直线上的任意一点到球面的距离都相等。利用球面的方程和点到球面的距离公式，得到相切条件。
3. 消去参数：将直线的参数方程代入相切条件，并消去直线参数，得到只包含平面法向量和截距的方程。
4. 确定平面法向量：平面法向量可以通过直线的方向向量和球心的位置向量叉乘得到。
5. 确定平面截距：平面截距等于法向量与球心位置向量的点积，再减去球半径的平方。
经过以上步骤，即可求解出过直线与球面相切的平面方程：
```
Ax + By + Cz + D = 0
```
其中，(A, B, C)是平面法向量，D是平面截距。
4、与球面相切的平面方程怎么求与球面相切的平面方程
设一平面与半径为 R 的球面相切，切点为 P(x0, y0, z0)。球面的方程为：
```
x^2 + y^2 + z^2 = R^2
```
平面的方程为：
```
Ax + By + Cz + D = 0
```
其中，(A, B, C) 为平面的法向量，D 为平面对原点的截距。
由于平面与球面相切，所以点 P(x0, y0, z0) 既在平面内也在球面上，因此满足这两个方程：
```
Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0
x0^2 + y0^2 + z0^2 = R^2
```
将第二个方程代入第一个方程，可得：
```
Ax0 + By0 + Cz0 + D = ±R
```
因为平面可以从球体外部或内部相切，所以符号“±”表示平面相切于球面的哪一面。
整理后，得到与球面相切的平面方程为：
```
Ax + By + Cz = ±R - D
```
其中，(x0, y0, z0) 为切点，(A, B, C) 为平面的法向量，D 为平面对原点的截距。