两平面垂直法向量相乘等于多少（两平面的法向量垂直该平面垂直吗）



1、两平面垂直法向量相乘等于多少

设两平面为：

平面1：\(Ax + By + Cz + D = 0\)

平面2：\(A'x + B'y + C'z + D' = 0\)

两平面法向量分别是：

\(\mathbf{n}_1 = (A, B, C)\)

\(\mathbf{n}_2 = (A', B', C')\)

当且仅当两法向量垂直时，两平面垂直。因此，我们需要计算 \(\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2\)。

法向量点积为：

\(\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2 = AA' + BB' + CC'\)

如果 \(\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2 = 0\)，则两法向量垂直，从而两平面垂直。

两平面垂直当且仅当两平面法向量点积为 \(0\)。

2、两平面的法向量垂直该平面垂直吗

平面法向量的垂直性和平面的垂直性

给定两平面 π? 和 π?, 考虑它们的单位法向量 n? 和 n?。当 n? 正交于 n? 时，即 n? · n? = 0，我们称平面 π? 和 π? 垂直。

那么，平面 π? 和 π? 垂直是否意味着它们的单位法向量 n? 和 n? 垂直呢？

答案是否定的。平面垂直性只保证它们的单位法向量是线性无关的，即它们不共线。但是，线性和无关的向量不一定是正交的。

例如，考虑两个平行平面 π? 和 π?，它们的单位法向量 n? 和 n? 平行。显然，平面 π? 和 π? 垂直，但 n? 和 n? 不垂直。

因此，两平面的法向量垂直不意味着该平面垂直。平面垂直性要求它们的单位法向量线性无关，而单位法向量正交仅仅是平面垂直的一个特定情况。

一下，虽然平面法向量的垂直性是平面垂直的一个必要条件，但它并不是一个充分条件。平面垂直性还要求它们的单位法向量线性无关。

3、两平面垂直方程式之间有什么关系

平面垂直的方程之间存在着密切的关系。设有两个平面方程为：

A?x + B?y + C?z + D? = 0

A?x + B?y + C?z + D? = 0

其中[A?, B?, C?, D?]和[A?, B?, C?, D?]分别为这两个平面的法向量和截距。

垂直条件：

如果这两个平面垂直，则它们的法向量也必须垂直。这意味着它们的内积为零，即：

```

A?A? + B?B? + C?C? = 0

```

正交基底：

当两个平面垂直时，它们的垂直法向量[A?, B?, C?]和[A?, B?, C?]可以形成一个正交基底。这意味着：

```

A?A? + B?B? + C?C? = 0

A?B? - A?B? = 0

B?C? - B?C? = 0

C?A? - C?A? = 0

```

平面方程的关系：

垂直平面的方程之间也存在着特定的关系：

截距项之比等于法向量分量的相反数，即：

```

D? / D? = -A? / A? = -B? / B? = -C? / C?

```

两个垂直平面的法向量可以相互表示为线性组合，即：

```

[A?, B?, C?] = k?[A?, B?, C?] + k?[B?, C?, A?] + k?[C?, A?, B?]

```

其中，k?, k?, k?为任意常数。

4、两平面向量垂直的坐标公式

两平面向量垂直的坐标公式

对于两个平面

$$П_1: ax+by+cz+d_1=0$$

$$П_2: a'x+b'y+c'z+d_2=0,$$

其法向量分别为

$$\overrightarrow{n}_1=(a,b,c)$$

$$\overrightarrow{n}_2=(a',b',c').$$

如果这两个平面垂直，那么它们的法向量也垂直，即满足点积为零：

$$\overrightarrow{n}_1\cdot\overrightarrow{n}_2=aa'+bb'+cc'=0$$

由此，得到两平面向量垂直的坐标公式：

$$aa'+bb'+cc'=0$$

证明：

假设两个平面相交于一条直线，则它们的法向量共线。设

$$\overrightarrow{n}_1=k\overrightarrow{n}_2$$

其中 \(k\) 为非零常数，代入点积公式得

$$aa'+bb'+cc'=(ka')a+(kb')b+(kc')c=k(aa'+bb'+cc')=0$$

由于 \(k\ne 0\)，所以 \(aa'+bb'+cc'=0\).

推论：

如果两个平面有公共点，那么它们不垂直。