两个平行平面与第三个平面相交（两个平行平面与第三个平面分别相交则它们的交线不可能）

1、两个平行平面与第三个平面相交

在几何学中，当两个平行平面与第三个平面相交时，会形成特殊的情况。

设有两个平行平面P和Q，以及第三个平面R。当R与P和Q相交时，有以下几种可能：

1.两条平行线：如果R与P和Q相交于两条平行线，则R与P和Q平行。

2.两条相交线：如果R与P和Q相交于两条相交线，则R与P和Q相交于一点。

3.一条直线和一条平行线：如果R与P和Q相交于一条直线和一条平行线，则R与P和Q平行，且相交线平行于平行线。

4.一条直线：如果R与P和Q相交于一条直线，则R与P和Q平行，且相交线垂直于P和Q。

这些情况取决于R与P和Q的相对位置。当R与P和Q平行时，会出现情况1和3；当R与P和Q相交时，会出现情况2和4。

值得注意的是，R与P和Q相交的交线类型可能会因交点的位置而异。例如，在情况2中，交线可能是射线、线段或直线，具体取决于交点在P和Q上的位置。

2、两个平行平面与第三个平面分别相交则它们的交线不可能

若两个平行平面分别与第三个平面相交，则它们的交线不可能平行。

证明：

设两个平行平面为α和β，第三个平面为γ。α和β的交线设为l1，α与γ的交线设为l2，β与γ的交线设为l3。

假设l1和平行，则l1与γ的交点与α和β的交点重合。同理，l2和平行，则l2与γ的交点与α和β的交点重合。

由于l1和l2是平行线的不同平行线，因此它们与γ的交点不同。这与假设矛盾。

因此，l1不可能平行。同理，l2和l3也不可能平行。

因此，两个平行平面与第三个平面分别相交，它们的交线不可能平行。

3、两个平行平面与第三个平面相交,所得的交线是( )

当两个平行平面与第三个平面相交时，所得的交线是一条直线。这是因为：

定理 1：如果两个平面平行，那么与其中一个平面平行的任意其他平面也与该两个平面平行。

定理 2：如果两条直线与同一平面平行，那么它们平行。

根据定理 1，两个平行平面与第三个平面相交时，所得的交线与这两个平行平面平行。同时，根据定理 2，与这两个平行平面平行的任意直线都是平行线。因此，所得的交线是一条直线。

为了更直观地理解，我们可以想象两个平行平面为平行四边形的两面，第三个平面为与其相交的另一平面。当第三个平面与平行四边形中的任意一条边相交时，所得的交线就是一条直线。

这个性质在几何学和应用领域中都有着广泛的应用，例如：

在建筑中，用于设计平行屋顶或地板。

在机械工程中，用于设计平行导轨或管道。

在光学中，用于分析光线在不同介质中的传播路径。

4、两个平行平面与第三个平面相交,所得的二面角

当两个平行平面与第三个平面相交时，所得的二面角被称作平面二面角。

设平面α、β平行，平面γ与α、β相交于l、m两条直线，l与m在γ平面上的投影为a、b。则平面α和β由γ平面分割成的两个部分称为α、β的半空间。由a和b组成的角称为平面二面角，记作(α,β)。

平面二面角的性质：

1. 二面角的补角也是二面角。

2. 如果两个平面互相垂直，那么它们所成的二面角为直角。

3. 三个平面两两相交，则它们所成的六个二面角之和等于360度。

4. 如果一个平面垂直于两个相交的平面，则它垂直于这两个平面所成二面角的每条棱。

5. 如果两个二面角的对应棱线平行，则这两个二面角相等。

平面二面角的应用：

在数学中，平面二面角的概念用于解决立体几何问题，如多面体的体积和表面积计算等。在物理学中，平面二面角用于计算力矩和功等。在工程领域，平面二面角用于设计和制造各种物体。