两圆相交求阴影部分面积（两圆相交求阴影部分面积一个半径是3 一个半径是）
- 作者: 朱栀梦
- 来源: 投稿
- 2024-12-21
1、两圆相交求阴影部分面积
两圆相交求阴影部分面积
当两个圆相交时，它们会在内部形成阴影区域。求阴影部分面积的方法如下：
1. 确定重叠区域：找出两个圆相交的部分。这部分称为重叠区域。
2. 计算重叠区域的扇形面积：使用圆心角和半径，计算每个圆在重叠区域中的扇形面积。
3. 减去三角形面积：在重叠区域中，形成一个三角形，由两个圆的圆心和圆与圆相切点连接而成。减去三角形的面积。
4. 求和得到阴影部分面积：将两个圆的扇形面积相加，再减去三角形面积，得到阴影部分面积。
公式如下：
阴影部分面积 = 圆1扇形面积 + 圆2扇形面积 - 三角形面积
其中：
圆1扇形面积 = (θ1 / 360) πr1^2
圆2扇形面积 = (θ2 / 360) πr2^2
三角形面积 = (1/2) |r1 - r2| h
其中：
θ1 和 θ2 是每个圆在重叠区域中的圆心角
r1 和 r2 是每个圆的半径
h 是三角形的高度，由 |r1 - r2| 和圆心之间的距离决定
通过遵循这些步骤，可以计算出两圆相交时的阴影部分面积。
2、两圆相交求阴影部分面积一个半径是3 一个半径是
在平面上有两个圆相交，一个圆的半径为 3，另一个圆的半径为 r。相交部分是一个扇形，求阴影部分的面积。
解法：
1. 计算扇形的圆心角：
相交的圆心连线垂直平分公共弦，将扇形分成两个相等的三角形。圆心角是这些三角形的底角，根据三角形内角和为 180 度，可以得知扇形的圆心角为：
θ = 2 ∠PTA = 2 (90° - ∠APC)
其中，点 P 是两圆交点，点 A 是圆心，点 C 是公共弦中点。
2. 计算扇形的面积：
扇形面积等于其圆心角与半径的乘积再除以 2，即：
```
S_扇形 = (θ/360°) π R^2
```
其中，R 是扇形圆的半径。
3. 计算阴影部分面积：
阴影部分面积等于扇形面积减去两段相切圆弧的面积。相切圆弧的弧长等于圆心角与其半径的乘积。因此，阴影部分面积为：
```
S_阴影 = S_扇形 - 2 (θ/360°) π r^2
```
代入已知条件：
圆心角 θ = 2 (90° - ∠APC) = 2 (90° - cos^-1(3/r))
扇形圆半径 R = 3
相切圆半径 r = r
代入公式可得：
```
S_阴影 = (θ/360°) π 3^2 - 2 (θ/360°) π r^2
= (θ/180°) π 9 - (θ/180°) π 2r^2
= (θ/180°) π (9 - 2r^2)
```
因此，阴影部分面积为 θ/180 π (9 - 2r^2)。
3、两圆相交求阴影面积公式 圆上的四条弧线相等
两圆相交求阴影面积公式
当两圆相交时，交点将把圆分割成四个弧线。设半径较大的圆半径为 R，较小圆半径为 r，两圆的交点连线长为 d，则阴影面积公式为：
```
阴影面积 = (R^2 - r^2) / d^2 × πd^2 / 4
```
圆上的四条弧线相等
若两圆相交且圆上的四条弧线相等，则阴影面积可进一步简化为：
```
阴影面积 = (R^2 - r^2) × π / 4
```
这是因为当四条弧线相等时，交点连线 d 将是两圆半径之差 R - r，因此公式中的 d^2 项可以约去。
证明：
假设两圆相交于 A 和 B 两点，连接两圆心得到线段 OC。因为四个弧线相等，所以 ∠ACO = ∠BCO = π / 2。
在直角三角形 ACO 中，根据勾股定理有：
```
AC^2 + OC^2 = OA^2
d^2 / 4 + R^2 - r^2 = R^2
d^2 / 4 = r^2
d = 2r
```
将 d 代入阴影面积公式中，即可得到简化后的公式。
4、两圆相交求阴影面积及相交两点距离
两圆相交求阴影面积及相交两点距离
设两圆的半径分别为 r1 和 r2，圆心距为 d。
阴影面积 A：
当两圆相交时，阴影面积由两块扇形和一块三角形组成。
扇形 1 的弧长：θ1 = 2arccos((r1 - r2) / d)
扇形 2 的弧长：θ2 = 2arccos((r2 - r1) / d)
三角形的底边：d - (r1 + r2)
三角形的高：h = sqrt((r1 + r2)^2 - (d / 2)^2)
则阴影面积：
```
A = (1/2) (r1^2 θ1 + r2^2 θ2 + h (d - (r1 + r2)))
```
相交两点距离 L：
当两圆相交时，相交两点距离等于圆心距减去半径差的绝对值：
```
L = d - |r1 - r2|
```
