与三个坐标面都相切的球面方程（与三个坐标轴相切且过点(2,1,2)的球面方程是）

作者: 张婉若
来源: 投稿
2024-12-24

                         ﻿1、与三个坐标面都相切的球面方程与三个坐标面都相切的球面方程
一个球面与三个坐标面相切时，它的圆心一定在三个坐标轴的交点原点 (0, 0, 0)。因此，球面的方程可以表示为：
x2 + y2 + z2 = r2
其中，r 是球的半径。
球面与 xy 平面相切，意味着它与 z 轴相交于点 (0, 0, ±r)。因此，方程的常数项 r2 必须等于 r2。
同理，球面与 xz 平面相切，意味着它与 y 轴相交于点 (0, ±r, 0)，方程的常数项 r2 也必须等于 r2。
与 yz 平面相切，球面与 x 轴相交于点 (±r, 0, 0)，方程的常数项 r2 再次等于 r2。
因此，三个坐标面都与球面相切，它的方程为：
```
x2 + y2 + z2 = r2
```
其中，r 是球的半径，也是球面到原点的距离。
2、与三个坐标轴相切且过点(2,1,2)的球面方程是设球心为(a, b, c)，半径为r。
由于球面与三个坐标轴相切，因此a^2 = r^2、b^2 = r^2、c^2 = r^2。
球面过点(2,1,2)，因此
(2-a)^2 + (1-b)^2 + (2-c)^2 = r^2
将a^2 = r^2、b^2 = r^2、c^2 = r^2代入上式，得到：
4 - 4a + a^2 + 1 - 2b + b^2 + 4 - 4c + c^2 = r^2
化简得：
a^2 + b^2 + c^2 - 4(a + b + c) + 9 = r^2
即：
3r^2 - 4(a + b + c) + 9 = r^2
两边同时减去r^2得：
2r^2 - 4(a + b + c) + 9 = 0
即：
r^2 - 2(a + b + c) + 4.5 = 0
因此，球面方程为：
(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2
= (x - (a + b + c)/2)^2 + (y - (a + b + c)/2)^2 + (z - (a + b + c)/2)^2 = 2.25
3、求与三条坐标轴均相切的所有球面的球心组成的图形三条坐标轴均相切于球面的球心构成一个正四面体。
想象一下，坐标系中的三个坐标轴相交于原点。假设有一个球面与这三条坐标轴都相切。那么，这个球面的球心一定在距离原点相等距离的地方。
让我们以 x 轴为例。球面与 x 轴相切，意味着球心到 x 轴的距离等于球面的半径。同理，球心到 y 轴和 z 轴的距离也等于球面的半径。
因此，球心与这三个坐标轴的距离相等，形成一个正四面体。正四面体的四个顶点是球心，四个面是与坐标轴相切的平面。
换句话说，求与三条坐标轴均相切的所有球面的球心组成的图形，就等价于求正四面体的四个顶点组成的图形。而正四面体的四个顶点构成一个正四面体。
4、与三个坐标面都相切的球面方程怎么求已知球面与三个坐标面相切，设球心的坐标为 (a, b, c)，半径为 r。由于球面与坐标面相切，因此它的中心到每个坐标面的距离都等于半径 r。
与 xy 平面相切：
球心到 xy 平面的距离为 |c|，因此有：
```
|c| = r
```
与 xz 平面相切：
球心到 xz 平面的距离为 |b|，因此有：
```
|b| = r
```
与 yz 平面相切：
球心到 yz 平面的距离为 |a|，因此有：
```
|a| = r
```
综合以上三个方程，我们可以得到：
```
a2 + b2 + c2 = r2
```
这是球面方程的一般形式，其中 (a, b, c) 是球心坐标，r 是半径。由于球面与三个坐标面都相切，因此它的中心 (a, b, c) 一定在坐标原点，即 a = b = c = 0。因此，与三个坐标面都相切的球面方程为：
```
x2 + y2 + z2 = r2
```