🌸 求两半圆相交阴影部分面积方法（如何求两个半圆组合的 🦍 阴影面积）
- 作者: 陈玺越
- 来源: 投稿
- 2025-01-20
1、求两半圆相交 🐡 阴影部分 🐞 面积方法
求两半圆相交阴 🦟 影部分面积 🐧
当两半圆相交时，阴，影部分形成一个凹形由圆周、弦和半径组成。求阴影部分面积的方法如 🐯 下：
步骤 1：求半 🦊 圆半径
求出 🐋 两半圆的半径r1和r2。
步 🕊 骤 2：求 🐳 弦 🐡 长
两半圆相交处连成的线段称 🌹 为弦，记为弦l。长可通过毕达哥拉斯定 🐋 理求得：l^2 = (r1 - r2)^2 + (r1 + r2)^2。
步骤 3：求 🌹 阴影部分面 🐬 积
阴影部 🐴 分面积由一个梯形 🕷 和一个扇形组 🐞 成。
梯形 🐼 面积梯形：的高为r2 - r1，底为面积为l。：(r2 - r1) l / 2。
扇形面积扇形：的圆心 🌼 角为2θ，半径为面 🦅 积为r1。其：θ r1^2 / 2 (中为θ弧度 🌳 制)。
步骤 4：求最 💮 终面积
阴影部 🐟 分总面积为梯形面积 + 扇形面积。
因此，两半圆相交阴影部 🐶 分面积的公式为：
阴影部 🐳 分面积 = (r2 - r1) l / 2 + θ r1^2 / 2
其 🪴 中 🌼 ：
- r1、r2：半圆 🐠 半径 🕷
- l：弦 🍀 长
- θ：圆心 🐕 角（弧度 🐒 制）
2、如何求两个 🌵 半圆 🐱 组合的阴影面积
如 🌵 何 🌹 求两个半圆组合的阴影 🌲 面积
当两 🌼 个半 🐡 圆组合在一起时 🌸 ，可能会形成一个阴影区域。求该阴影面积需要按照以下步骤进行：
1. 求单个半圆的阴影面 🐬 积 🌳
设半圆 🕷 的半径为r。则其阴影面积为 🕸 ：
阴影 🍁 面积 🐧 = 1/2 πr2
2. 求 🐵 两 🐠 个半圆重叠的阴影 🦉 面积
设两个半圆的半径分别为r1和r2，重叠部分的 🐯 半径为r3。则重叠部分的阴影面积为：
重叠阴影面 🐅 积 = 1/2 π(r12 - r32)
3. 求组 🐅 合阴影面 🌴 积
组 🌳 合阴影面积等于两个单个半圆的阴影面积减去重叠阴影面积：
组合阴影 ☘ 面积 = (1/2 πr12) + (1/2 πr22) - (1/2 πr32)
示 🕊 例 🐼
已知半径为r1=5cm和r2=3cm的两个半圆组 🐴 合在一 🐒 起。求。它们的阴影面积
根 🐕 据 🐡 公式 🐟 计算：
阴 🌷 影面积 🌼 = (1/2 π52) + (1/2 π32) - (1/2 π32)
= (1/2 π25) + (1/2 π9)
= (25/2 π) + (9/2 π)
= 34 π cm2
≈ 106.81 cm2
因此，两个半圆组合的阴影面积约 🦟 为106.81平方厘 🕊 米。
3、两半圆相交求 🦉 阴影面积的例题 🐺
例题 🌳 ：
已知两半圆的 🐈 半径分别为 R1 和两半圆的圆 🌺 R2，心距为 d，求两半圆重叠部分的阴影面积。
解 🌼 法 🐼 ：
1. 计算重 🦟 叠部分的圆心角：
设重叠部分的 💐 圆 🐅 心角为 θ，则有：
```
θ = arccos((R1^2 + R2^2 - d^2) / (2 R1 R2))
```
2. 计算重 🌴 叠部 🐟 分的扇形面积：
重叠 🌿 部分的 🐋 扇形面积为：
```
A1 = (θ / 360°) π (R1^2 + R2^2)
```
3. 计 🐶 算两半圆的 🐡 三角形面积：
重叠部分的阴影 🌴 面积包括两个三角形三角 🌷 形面积 ☘ ，为：
```
A2 = 0.5 d (R1 + R2 - (R1^2 + R2^2 - d^2)^(1/2))
```
4. 计 🦄 算阴影 🐡 面积 ☘ ：
重叠部分 🐯 的阴影面积为扇 🐈 形面积减去两个三角形面积：
```
A = A1 - 2 A2
```
示 🐧 例 🌷 ：
若 💮 R1 = 5，R2 = 3，d = 6，则：
θ ≈ 70.53°
A1 ≈ 26.92
A2 ≈ 3.92
A ≈ 19.08
因此，两半圆重叠部 🐬 分的阴影面积约为 19.08 平方单位 🦈 。
