两个相似四边形的面积比等于多少（两个相似四边形的面积比等于多少推导过程）



1、两个相似四边形的面积比等于多少

在几何学中，如果两个四边形的形状相似，即它们的边长按比例缩小或放大，那么这两个四边形的面积比就等于边长比的平方。

具体来说，如果两个相似四边形的边长比为m:n，那么它们的面积比为m2:n2。

证明如下：

假设两个相似四边形分别为ABCD和EFGH，且它们的边长比为m:n。

则有：AB/EF = BC/FG = CD/GH = DA/EH = m/n

根据相似四边形的性质，对应角相等，因此∠A = ∠E，∠B = ∠F，∠C = ∠G，∠D = ∠H。

我们以点A为顶点，作AH⊥EF，以点E为顶点，作EK⊥AB。

则△ABH∽△EFK，因为它们有：∠BAH = ∠FEK（垂直角），∠ABH = ∠EFK（对应角）。

因此：AB/EF = BH/FK = m/n

同理，可以证明△ABC∽△EFG，△ACD∽△EFH，△ADC∽△EFG。

因此，有：BC/FG = CH/GK = m/n，CD/GH = DH/HK = m/n，DA/EH = AK/EK = m/n。

由以上比例式可知，BH/FK = CH/GK = DH/HK = AK/EK = m/n。

即：BH：FK：CH：GK：DH：HK：AK：EK = m：n：m：n：m：n

根据面积比公式：S△ABH/S△EFK = (BH/FK)2 = (m/n)2，即△ABH与△EFK的面积比为m2:n2。

同理，可以证明△ABC与△EFG、△ACD与△EFH、△ADC与△EFG的面积比也都为m2:n2。

因此，四边形ABCD与EFGH的面积比为：

SABCD/SEFGH = (S△ABH + S△ABC + S△ACD + S△ADC)/(S△EFK + S△EFG + S△EFH + S△EFG)

= (m2:n2 + m2:n2 + m2:n2 + m2:n2)/(1 + 1 + 1 + 1)

= (4m2:n2)/4

= m2:n2

2、两个相似四边形的面积比等于多少推导过程

设四边形ABCD和四边形EFGH具有相同的形状。令它们的面积分别为S和T。

根据四边形的面积公式：面积 = 底 × 高

设ABCD的底长为x，高为h，EFGH的底长为y，高为k。

则：

S = x × h

T = y × k

由于这两个四边形具有相同的形状，因此它们的形状因子相同。也就是说：

x / y = h / k

整理该式得到：

h = kx / y

将此表达式代入S的公式中：

S = x × kx / y

S = (x^2 × k) / y

同理，可以导出：

T = (y^2 × k) / x

因此，面积比为：

S / T = [(x^2 × k) / y] / [(y^2 × k) / x]

S / T = (x^2 × x) / (y^2 × y)

S / T = x^2 / y^2

两个相似四边形的面积比等于它们的底长的平方比。

3、两个相似四边形的面积比等于多少平方米

4、两个相似四边形的面积比等于多少比值

在平面几何中，相似四边形的面积比等于其对应边的比率的平方。

设有两个相似四边形ABCD和EFGH，其中AB对应EF，BC对应FG，CD对应GH，DA对应HE。根据相似形的定义，有：

∠ABC = ∠EFG

∠BCD = ∠FGH

∠CDA = ∠HEA

∠DAB = ∠EHB

由此可得：

AB/EF = BC/FG = CD/GH = DA/HE

设四边形ABCD的面积为S1，四边形EFGH的面积为S2。根据面积公式，有：

S1 = (AB + DC) BC / 2

S2 = (EF + HG) FG / 2

代入相似比关系，得：

S1/S2 = (AB + DC)/ (EF + HG) (BC/FG)

= (AB/EF + DC/GH) (BC/FG)

= (AB/EF)^2 (BC/FG)^2

因此，相似四边形的面积比等于其对应边的比率的平方，即：

S1/S2 = (AB/EF)^2