正四面体所有棱长相等（与正四面体所有棱相切的球的半径）

1、正四面体所有棱长相等

正四面体是一种三维几何图形，由四个相等的三角形组成。正四面体最显著的特点之一是其所有棱长相等。

要证明正四面体的棱长相等，可以从以下事实开始：正四面体的四个三角形是全等的。这意味着它们具有相等的边长和相等的角。由于正四面体是一对异面三角形的锥体，因此这两个三角形必须共享一个顶点（即四面体的顶点）和一个边（即四面体的底边）。

由于四个三角形是全等的，它们的底边（即正四面体的棱）也必须相等。这是因为底边的长度由相邻角的大小和三角形高度的长度共同决定。由于底角和三角形高度在所有四个三角形中相同，因此底边也必须相同。

正四面体的空间对角线也相等。空间对角线是连接两个异面顶点的线段。由于正四面体的四个顶点都位于球的表面上，并且球的半径等于半条棱长，因此空间对角线的长度等于两个半条棱长的平方根之和。由于半条棱长对于所有正四面体都是相同的，因此空间对角线也必须相同。

因此，通过证明正四面体的底边相等和空间对角线相等，我们得出了一个正四面体的所有棱长相等。

2、与正四面体所有棱相切的球的半径

对于与正四面体所有棱相切的球，其半径可由以下公式计算：

$$r = \frac{\sqrt{6}}{12}a$$

其中：

r 为球的半径

a 为正四面体的边长

推导过程：

设正四面体边长为 a，其内切球半径为 r。过正四面体中心作球心到四面体一面的垂线，设垂线长度为 h，垂足到该面某一边的距离为 d。

由相似三角形可得：

$$\frac{r}{h} = \frac{d}{a/2}$$

由勾股定理可得：

$$r^2 + h^2 = d^2$$

$$r^2 + \left(\frac{a}{2} - d\right)^2 = \left(\frac{a}{4}\right)^2$$

整理得：

$$r^2 = \frac{a^2}{12}$$

因此，球的半径为：

$$r = \frac{\sqrt{6}}{12}a$$

3、棱长相等的四面体是正四面体吗

四面体是一种具有四个三角形面的三维多面体。对于棱长相等的四面体，它是否一定是正四面体取决于其面三角形的形状。

正四面体是一种特殊的四面体，其所有面都是正三角形，且四条棱相等。因此，如果一个棱长相等的四面体的四个面都是正三角形，那么它就是正四面体。

如果一个棱长相等的四面体的一个或多个面不是正三角形，那么它就不是正四面体。例如，如果一个四面体的四个面中有一个是直角三角形，那么它就不能成为正四面体，因为它不能满足正三角形的所有边相等的条件。

因此，是：棱长相等的四面体不一定都是正四面体。只有当其所有面都是正三角形时，它才是正四面体。

4、棱长为一的正四面体的表面积

正四面体是一种由四个相等的三角形面构成的三维几何体，其每个面都是一个等边三角形。如果正四面体的棱长为 1 个单位，那么我们可以计算它的表面积如下：

每个三角形面的面积：

每个三角形面的面积可以通过海伦公式求得：

S = √p(p - a)(p - b)(p - c)

其中，p 是三角形的半周长，a、b、c 是三角形的边长。

在本例中，三角形是等边三角形，即 a = b = c = 1，因此半周长 p = 3/2。代入海伦公式，得到每个三角形面的面积为：

```

S = √(3/2)(3/2 - 1)(3/2 - 1)(3/2 - 1) = 1/2

```

正四面体的表面积：

正四面体有四个三角形面，因此其表面积等于四个三角形面的面积之和：

```

表面积 = 4 × 三角形面面积 = 4 × 1/2 = 2

```

因此，棱长为 1 个单位的正四面体的表面积为 2 个单位平方。