平面向量相交定理（平面向量三点共线定理证明x+y=1）



1、平面向量相交定理

平面向量相交定理

平面向量相交定理是一个几何定理，它描述了两个向量是否相交的条件。

定理

已知两个向量 a = (a1, a2) 和 b = (b1, b2)，则 a 和 b 相交当且仅当它们的平行四边形的面积为零，即：

det(a, b) = 0

其中 det(a, b) 表示向量 a 和 b 形成的平行四边形的行列式，计算公式为：

```

det(a, b) = a1b2 - a2b1

```

证明

必要性：

假设 a 和 b 相交。那么它们的平行四边形面积为零，即 det(a, b) = 0。

充分性：

假设 det(a, b) = 0。那么 a 和 b 形成的平行四边形面积为零。这意味着 a 和 b 平行或重合。如果平行，则 a 和 b 不相交；如果重合，则 a 和 b 相交。

因此，定理得证。

应用

平面向量相交定理在几何和物理中有着广泛的应用，包括：

判断两条直线是否平行或相交

求两条直线的交点

判断一个点是否在一条直线上或者两条直线之间

计算平行四边形的面积

2、平面向量三点共线定理证明x+y=1

平面向量三点共线定理证明 x + y = 1

定理：如果平面向量 A、B、C 共线，且 A + B = C，则 x + y = 1，其中 x 和 y 分别为 A 和 B 的长度。

证明：

令 A = (x?, y?)，B = (x?, y?)，C = (x?, y?)。

由于 A + B = C，所以：(x?, y?) + (x?, y?) = (x?, y?)

对每个分量求和得到：

x? + x? = x?

y? + y? = y?

现在分别求 A 和 B 的长度平方：

|A|2 = x?2 + y?2

|B|2 = x?2 + y?2

由于 A + B = C，所以 C 的长度平方等于：

|C|2 = (x? + x?)2 + (y? + y?)2

将前三个等式代入最后一个等式，得到：

|C|2 = x?2 + 2x?x? + 2y?y? + y?2

展开括号，再将前两个等式代入，得到：

|C|2 = |A|2 + |B|2 + 2|A||B|cosθ

其中 θ 是 A 和 B 之间的夹角。

由于 A、B、C 共线，所以 θ = 0 或 θ = π。

当 θ = 0 时：

cosθ = 1，所以 |C|2 = |A|2 + |B|2 + 2|A||B|

即：x?2 + y?2 = x?2 + x?2 + 2x?x? + y?2 + y?2 + 2y?y?

整理得：

(x? - x?)2 + (y? - y?)2 = 0

这表明 A 和 B 重合，即 x + y = 1。

当 θ = π 时：

cosθ = -1，所以 |C|2 = |A|2 + |B|2 - 2|A||B|

即：x?2 + y?2 = x?2 + x?2 - 2x?x? + y?2 + y?2 - 2y?y?

整理得：

(x? + x?)2 + (y? + y?)2 = 0

这表明 A 和 B 共线且方向相反，即 x + y = 1。

当平面向量 A、B、C 共线时，总有 x + y = 1。

3、平面向量三点共线定理证明

平面向量三点共线定理证明

定理：如果平面上的三个向量 a, b, c 满足 a+b+c=0, 那么这三个向量共线。

证明：

设点 A, B, C 分别是向量 a, b, c 的始点和终点。

由于 a+b+c=0, 我们可以得到：

```

a = -b - c

```

又因为向量 a, b, c 共头，所以点 A, B, C 共线。

Q.E.D.

推论：

如果平面上的三个向量 a, b, c 满足 a+b=c, 那么这三个向量也共线。

证明：

根据向量加法交换律，有：

```

a+b = c

a = c - b

```

所以 a, b, c 满足 a+b+c=0, 根据定理，这三个向量共线。

Q.E.D.

4、平面相交直线的方向向量

平面相交直线的方向向量是与直线平行的向量。

给定平面方程为 Ax + By + Cz + D = 0，则平面上的所有向量 (v, w, -C/A) 和 (u, -v, -B/A) 都是方向向量，其中 (u, v, w) 是任意非零向量。

定理：

平面相交直线的方向向量与平面法向量垂直。

证明：

平面法向量为 (A, B, C)。设直线方向向量为 (v, w, -C/A)。则

(A, B, C) · (v, w, -C/A) = Av - Bw + C(C/A) = 0

即方向向量与法向量垂直。

应用：

确定两条直线是否相交：如果两条直线的方向向量不垂直于平面法向量，则两条直线相交。

求交点坐标：已知两条直线的方向向量和一点坐标，可求出交点坐标。

求直线方程：已知直线的方向向量和一点坐标，可求出直线方程。

例题：

在平面 2x + 3y - 5z = 0 上，求过点 (1, -1, 1) 且与直线 x - 2y + 3z = 4 相交的直线方程。

解：

平面法向量为 (2, 3, -5)。直线方向向量为 (1, -2, 3)。由于方向向量与法向量不垂直，所以两直线相交。

设交点坐标为 (x, y, z)。

根据直线方程，有 x - 2y + 3z = 4。

根据交点坐标，有 x = 1, y = -1, z = 1。

代入直线方程，有 1 - 2(-1) + 3(1) = 4。

所以，求出的直线方程为 x - 2y + 3z = 4。