法向量等于两个平面向量相乘（两个平面的法向量相乘为什么是直线的方向向量）

1、法向量等于两个平面向量相乘

法向量等于两个平面向量相乘

在三维空间中，一个平面的法向量是一个与该平面垂直的向量。对于给定平面，可以用两个非共面的向量来描述，设这两个向量为 a 和 b。

这两个向量的叉积 a × b 是一个与 a 和 b 都正交的向量，并且总是指向平面法线方向。因此，平面 P 的法向量 n 可以表示为：

n = a × b

证明：

假设 a、b 和 n 位于同一点，并且 a 和 b 不共面。则 n 可以表示为 a 和 b 的线性组合：

n = k a + l b

其中 k 和 l 是标量。

由于 n 与 a 和 b 正交，因此：

n · a = 0

n · b = 0

将 n 的线性组合形式代入这两个方程，得到：

k a · a + l a · b = 0

k b · a + l b · b = 0

由于 a 和 b 不共面，因此 a · a 和 b · b 都不为零。因此，k 和 l 必须等于零。

这表明 n 与 a 和 b 共线。由于 n 与 a 和 b 正交，因此 n 必须与 a × b 共线。

由于 a 和 b 的叉积 a × b 的方向总是与法线方向一致，因此 n = a × b。

对于平面 P，其法向量 n 总是等于平面内两个非共面向量 a 和 b 的叉积：

n = a × b

2、两个平面的法向量相乘为什么是直线的方向向量

对于两个非平行的平面，其法向量相乘得到的向量垂直于这两个平面。而一个直线可以被定义为两个平面的交线，因此这个向量也垂直于直线。

证明如下：

假设两个平面由方程 $a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ 和 $a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ 表示，它们的法向量分别为 $\mathbf{n}_1 = \langle a_1, b_1, c_1\rangle$ 和 $\mathbf{n}_2 = \langle a_2, b_2, c_2 \rangle$。

它们的相乘结果：

$$\mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ a_1 & b_1 & c_1 \\\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = \langle b_1c_2 - b_2c_1, c_1a_2 - c_2a_1, a_1b_2 - a_2b_1 \rangle$$

容易验证，这个向量垂直于 $\mathbf{n}_1$ 和 $\mathbf{n}_2$，因为它与它们分别做点积的结果为零：

$$\mathbf{n}_1 \cdot (\mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2) = a_1(b_1c_2 - b_2c_1) + b_1(c_1a_2 - c_2a_1) + c_1(a_1b_2 - a_2b_1) = 0$$

$$\mathbf{n}_2 \cdot (\mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2) = a_2(b_1c_2 - b_2c_1) + b_2(c_1a_2 - c_2a_1) + c_2(a_1b_2 - a_2b_1) = 0$$

因此，$\mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2$ 垂直于这两个平面，即垂直于直线。因此，它是一个方向向量。

3、为什么法向量等于平面内两任意向量的乘积

法向量是垂直于平面的向量，而平面内任意两条非平行向量的叉积会产生一个垂直于这两个向量的向量，即法向量。

设平面内两条非平行向量为 a 和 b，则它们的叉积 a × b 具有以下性质：

垂直于平面： a × b 垂直于 a 和 b，因此也垂直于平面。

大小等于平行四边形面积： 由 a 和 b 所张成的平行四边形的面积等于 a × b 的长度。

因此，a × b 满足法向量的两个关键性质：垂直于平面和大小反映平面的面积。

直观地说，a 和 b 就像两条楼梯，它们可以形成一个平面。它们之间的叉积 a × b 就像楼梯之间的楔子，垂直于这两个楼梯，并代表平面的倾斜度和面积。

需要注意的是，叉积的顺序会影响法向量的方向。如果交换 a 和 b，叉积的方向也会相反。因此，需要根据具体情况确定法向量的正确方向。

平面内任意两条非平行向量的叉积等于法向量，因为叉积具有垂直于这两个向量的特性，并且大小等于平面的面积。

4、平面的法向量等于两个向量的向量积

平面的法向量，即垂直于该平面的向量，可以通过两个向量叉积得到。设平面为 Ax + By + Cz + D = 0，其法向量为 (A, B, C)。

假设有两个向量 v = (v1, v2, v3) 和 w = (w1, w2, w3) 与该平面相交，则它们的叉积 v x w 可表示为：

v x w = (v2w3 - v3w2, v3w1 - v1w3, v1w2 - v2w1)

我们发现，叉积的各个分量与平面方程中的系数 A、B、C 相对应。这表明叉积 v x w 与平面法向量 (A, B, C) 平行。要得到准确的法向量，只需将叉积归一化即可：

n = v x w / ||v x w|| = (A, B, C)

因此，给定两个与平面相交的向量，我们可以通过计算它们的叉积并归一化得到该平面的法向量。这在几何学、物理学和计算机图形学等领域有着广泛的应用，例如计算物体的表面法线或确定两个平面的交线。