两一般位置平面相交求交线的方法（一般位置平面与特殊位置平面相交求交线如何作图）



1、两一般位置平面相交求交线的方法

两一般位置平面相交求交线的方法

两条一般位置平面相交时形成一条直线，称为交线。求解交线是空间几何中的常见问题。以下介绍求解两一般位置平面相交交线的方法：

步骤 1：确定平面的方程

已知两平面 Π1 和 Π2，求解其方程：

Π1：Ax + By + Cz + D = 0

Π2：E x + Fy + Gz + H = 0

步骤 2：构造直线方程

交线是两平面的公共直线，可表示为：

x = a + kt

y = b + lt

z = c + mt

其中 a、b、c 为参数，k、l、m 为未知数。

步骤 3：将直线方程代入平面方程

将直线方程代入 Π1 和 Π2 的方程，得：

A(a + kt) + B(b + lt) + C(c + mt) + D = 0

E(a + kt) + F(b + lt) + G(c + mt) + H = 0

步骤 4：求解未知数

整理上述方程，消去参数 a、b、c，得到关于 k、l、m 的线性方程组：

(A - E)k + (B - F)l + (C - G)m = E - D

(B - F)k + (C - G)l + (A - E)m = F - H

求解该线性方程组，得到参数 k、l、m 的值。

步骤 5：确定交线方程

将求得的参数 k、l、m 代入直线方程，即可得到交线方程：

x = a + kt

y = b + lt

z = c + mt

注意：

以上方法适用于两一般位置平面相交的情况，即两平面不平行也不重合。

如果两平面平行，则不存在交线。

如果两平面重合，则交线为整个平面。

2、一般位置平面与特殊位置平面相交求交线如何作图?

一般位置平面与特殊位置平面相交求交线作图方法

当一般位置平面与特殊位置平面（如水平面、垂直面）相交时，求交线的作图方法如下：

垂直面

1. 先作一般位置平面与水平面的交线l。

2. 过l上的任意一点A，作与垂直面平行的直线m。

3. 垂直面与m的交点B即为求交线上的一个点。

4. 再过A点作与垂直面平行的直线n，同样可以得到交线上的另一点C。

5. 连接BC，即得到一般位置平面与垂直面的交线。

水平面

1. 过一般位置平面上的任意一点A，作垂直于水平面的直线l。

2. l与水平面的交点B即为求交线上的一个点。

3. 同理，再作一条过A点垂直于水平面的直线m，与水平面的交点C为交线上的另一点。

4. 连接BC，即得到一般位置平面与水平面的交线。

特殊注意事项

如果一般位置平面与垂直面或水平面平行，则没有交线。

如果一般位置平面与垂直面或水平面相交于一条直线，则求交线的方法与上述相同。

通过上述方法，我们可以求出一般位置平面与特殊位置平面相交的交线，这是几何作图中的重要内容，在工程设计、建筑规划等领域都有着广泛的应用。

3、两一般位置平面相交,求作交线并判别可见性

两一般位置平面相交

设有两个一般位置的平面，即它们既不平行也不相交。求作它们的交线步骤如下：

1. 找出一对平行的直线：平面上任意取两点，连接它们得到一条直线；在另一个平面上任意取两点，连接它们得到另一条直线。这两条直线平行。

2. 求出平行直线的公共点：相交的两个平面上，平行直线的公共点就是交线上的点。

3. 过公共点作其他平行直线：在平行直线公共点，作不同于这两条直线的任意平行直线。

4. 求出这些平行直线的另一个平面上对应的点：平行直线在两个平面上的对应点都在交线上。

5. 连接这些点：将对应点连接起来，就得到交线。

交线可见性判别

交线是否可见取决于它与观察者的位置关系：

可见：如果交线上的所有点都能被观察者看到，则交线可见。

不可见：如果交线上的某些点被其他物体遮挡，使观察者无法看到，则交线不可见。

具体判别方法如下：

确定观察者的位置：观察者位于交线上还是交线外部？

检查交线与观察者的视线：观察者是否能看到交线上的所有点？

如果有物体遮挡：观察者与被遮挡的交线点之间的阻挡物是什么？阻挡物有多大？

通过以上步骤，可以判别出交线是否可见。

4、一般位置平面与一般位置平面相交求交线

当两个一般位置的平面相交时，它们的交线是一条直线。

为了求得交线，我们可以选择两平面上的两条直线作为参考线。设平面 α 上的直线为 L1，平面 β 上的直线为 L2。

如果 L1 与 L2 相交，则它们的交点 P 即为两平面的交线。

如果 L1 与 L2 不相交，则我们可以构造一个经过 L1 上一点 A 和 L2 上一点 B 的直线 L3。如果 L3 与 L1 或 L2 相交，则交点即为两平面的交线。

一般情况下，L3 会与 L1 或 L2 相交。因为如果 L3 不与 L1 和 L2 相交，则 L3 与 α 平行或与 β 平行，这与假设两平面一般位置矛盾。

因此，我们可以通过构造参考线并找出它们的交点，来得到一般位置平面相交的交线。需要注意的是，在特殊情况下，两平面的交线可能是一条点线（即只有一点），例如当两平面平行时。