两曲面相交曲线的切线怎么求（两曲面相交曲线的切线怎么求公式）

作者: 刘嘉映
来源: 投稿
2024-11-15

                         ﻿1、两曲面相交曲线的切线怎么求两曲面相交曲线切线的求法：
设两曲面方程为 $F(x,y,z)=0$ 和 $G(x,y,z)=0$，则它们的交线方程为：
$$F(x,y,z)=0,\quad G(x,y,z)=0$$
在给定点 $(x_0,y_0,z_0)$ 上相交曲线切线方向由交线在该点处梯度的叉乘给出：
$$\mathbf{t}=\nabla F(x_0,y_0,z_0)\times\nabla G(x_0,y_0,z_0)$$
其中 $\nabla F$ 和 $\nabla G$ 分别是 $F$ 和 $G$ 的梯度向量。
切线方程为：
$$x-x_0=\frac{\partial F/\partial x}{\partial F/\partial y} t,\quad y-y_0=\frac{\partial F/\partial x}{\partial F/\partial z} t,\quad z-z_0=t$$
其中 $t$ 是参数。
注意，如果两个曲面相切，即 $\nabla F\parallel\nabla G$，则交线在相切点处没有唯一的切线。
2、两曲面相交曲线的切线怎么求公式两曲面相交曲线的切线求法
设两曲面方程分别为：
F(x, y, z) = 0
G(x, y, z) = 0
两曲面相交曲线方程为：
```
F(x, y, z) = 0
G(x, y, z) = 0
```
相交曲线上一点 (x?, y?, z?) 处的切线方向向量可以表示为：
```
v = ?F(x?, y?, z?) × ?G(x?, y?, z?)
```
其中：
 ?F(x?, y?, z?) 为 F(x, y, z) 在点 (x?, y?, z?) 处的梯度
 ?G(x?, y?, z?) 为 G(x, y, z) 在点 (x?, y?, z?) 处的梯度
因此，相交曲线上一点的切线方向向量为：
```
v = [?F/?x, ?F/?y, ?F/?z] × [?G/?x, ?G/?y, ?G/?z]
```
切线方程可以表示为：
```
(x - x?)·v? + (y - y?)·v? + (z - z?)·v? = 0
```
其中：
 (x?, y?, z?) 为相交曲线上一点的坐标
 v?, v?, v? 为切线方向向量的分量
3、两个曲面相交的曲线的切向量两个曲面相交所形成的曲线称为交线。在交线上的任意一点，过该点的曲面法向量和切向量构成一个平面，称为切平面。交线在该点处的切向量与切平面垂直。
若两个曲面的参数方程分别为：
```
x = f(u, v)
y = g(u, v)
z = h(u, v)
```
```
x = F(s, t)
y = G(s, t)
z = H(s, t)
```
则交线的参数方程为：
```
x = f(u(s, t), v(s, t))
y = g(u(s, t), v(s, t))
z = h(u(s, t), v(s, t))
```
交线在点 (s, t) 处的切向量为：
```
\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial s} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}
```
其中，
```
\mathbf{r} = f(u(s, t), v(s, t)) \mathbf{i} + g(u(s, t), v(s, t)) \mathbf{j} + h(u(s, t), v(s, t)) \mathbf{k}
```
化简后得到：
```
\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial s} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t} = \left|\begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ \frac{\partial f}{\partial s} & \frac{\partial g}{\partial s} & \frac{\partial h}{\partial s} \\\ \frac{\partial f}{\partial t} & \frac{\partial g}{\partial t} & \frac{\partial h}{\partial t} \end{array}\right|
```
该公式给出了两个曲面相交的曲线上任意一点的切向量。
4、两曲面交线的切向量怎么求两曲面交线的切向量
当两曲面相交时，交线上的切向量由两曲面在交点处的法向量的叉积给出。
假设两个曲面由以下参数方程表示：
```
r_1(u, v) = (x_1(u, v), y_1(u, v), z_1(u, v))
r_2(s, t) = (x_2(s, t), y_2(s, t), z_2(s, t))
```
设交线由参数方程
```
r(t) = (x(t), y(t), z(t))
```
表示，其中
```
x(t) = x_1(u_t(t), v_t(t))
y(t) = y_1(u_t(t), v_t(t))
z(t) = z_1(u_t(t), v_t(t))
```
```
x(t) = x_2(s_t(t), t_t(t))
y(t) = y_2(s_t(t), t_t(t))
z(t) = z_2(s_t(t), t_t(t))
```
则交线上的切向量为：
```
T(t) = \frac{dr}{dt} = \frac{\partial r_1}{\partial u}\frac{du_t}{dt} + \frac{\partial r_1}{\partial v}\frac{dv_t}{dt} = \frac{\partial r_2}{\partial s}\frac{ds_t}{dt} + \frac{\partial r_2}{\partial t}\frac{dt_t}{dt}
```
因此，交线上的切向量可由以下向量叉积计算得到：
```
N_1(u_t, v_t) × N_2(s_t, t_t)
```
其中
```
N_1 = \frac{\partial r_1}{\partial u} × \frac{\partial r_1}{\partial v}
```
```
N_2 = \frac{\partial r_2}{\partial s} × \frac{\partial r_2}{\partial t}
```
是两曲面在交点处的法向量。