两个相交向量确定一个平面（两个相交向量确定一个平面怎么算）



1、两个相交向量确定一个平面

2、两个相交向量确定一个平面怎么算

当两个向量相交时，它们所确定的平面的方程可以利用以下步骤求出：

步骤 1：求出两个向量的叉积

叉积是两个向量的垂直向量，其方向与平面相垂直。两个向量 a 和 b 的叉积为：

a x b = (a₂b₃ - a₃b₂) i - (a₁b₃ - a₃b₁) j + (a₁b₂ - a₂b₁) k

其中 i、j 和 k 是基向量。

步骤 2：建立平面方程

平面方程的一般形式为：

```

Ax + By + Cz + D = 0

```

其中 A、B、C 和 D 是常数。我们可以利用叉积来确定这些常数：

A = a x b 的第一个分量

B = a x b 的第二个分量

C = a x b 的第三个分量

D = -(A x₀ + B y₀ + C z₀)

其中 (x₀, y₀, z₀) 是平面上任意一点的坐标。

示例：

求出由向量 a = (1, 2, 3) 和 b = (4, 5, 6) 确定的平面的方程。

步骤 1：求出叉积

a x b = (-3, 6, -3)

步骤 2：建立平面方程

A = -3

B = 6

C = -3

D = -(1 x₀ + 6 y₀ - 3 z₀)

因此，平面的方程为：

```

-3x + 6y - 3z - (1x<sub>0</sub> + 6y<sub>0</sub> - 3z<sub>0</sub>) = 0

```

```

-3x + 6y - 3z - x<sub>0</sub> - 6y<sub>0</sub> + 3z<sub>0</sub> = 0

```

```

-4x + y - 6z + 3 = 0

```

3、两个相交向量确定一个平面的方法

两个相交向量确定一个平面的方法：

两个非零向量 a 和 b 相交，则它们所张成的平面可由下列方法确定：

通过方程组确定：

向量 a 和 b 的外积 c = a × b 是平面的法向量。平面上任一点 P(x, y, z) 满足与法向量 c 的点积为 0，即：

```

c · (P - Q) = 0

```

其中 Q 为平面上任意已知点。

通过行列式确定：

平面的方程也可以通过行列式表示：

```

| x - x0 y - y0 z - z0 | = 0

| ax ay az |

| bx by bz |

```

其中 (x0, y0, z0) 为平面上任意已知点，a 和 b 是向量 a 和 b 的坐标分量。

几何直观解释：

两个相交向量 a 和 b 所确定的平面可以想象为一条直线绕着法向量 c 旋转而形成的。向量 a 和 b 所形成的交叉点即为平面上的原点，法向量 c 指向平面的法向方向。

应用举例：

确定两个给定向量的所在平面

计算平面上的点与平面的距离

求解平面与其他几何对象的交线

4、两相交向量可唯一确定空间一平面

在三维空间中，两条相交的向量可以唯一地确定一个平面。这个平面被称为由这两条向量张成的平面。

要证明这一定理，我们可以考虑以下步骤：

1. 假设两条相交向量存在：不妨设这两条向量为 $v$ 和 $w$。

2. 构造一个与两条向量都垂直的向量：通过向量乘积，我们可以得到一个与 $v$ 和 $w$ 都垂直的向量 $u$，即 $u = v \times w$。

3. 确定平面三点：由两条向量 $v$ 和 $w$ 的端点以及向量 $u$ 的端点，可以确定平面的三个不共线点。

4. 证明这三个点共面：由于 $u$ 与 $v$ 和 $w$ 都垂直，因此它与由 $v$ 和 $w$ 张成的平面垂直。这表明，$u$ 的端点与 $v$ 和 $w$ 的端点都在同一个平面上。

5. 唯一性：假设存在另一个由 $v$ 和 $w$ 确定的平面，那么该平面上的点也将共线于 $v$ 和 $w$。但是，这与 $v$ 和 $w$ 相交的事实矛盾。因此，由两条相交向量确定的平面是唯一的。

两条相交的向量可以唯一地确定空间中一个平面。这个平面由这两条向量张成，并且与这两条向量都垂直的向量也将与该平面垂直。