与正四面体的棱相切的球（若正四面体的棱长为a则其外接球的半径为）

1、与正四面体的棱相切的球

2、若正四面体的棱长为a则其外接球的半径为

设正四面体的棱长为 a，外接球的半径为 R。

从正四面体的中心到任意一个顶点的距离为 R，且等于正四面体的半棱长的一半。因此，有：

R = a/2

正四面体的体积 V 为：

V = (1/3) a3 √2

外接球的体积 V' 为：

V' = (4/3) π R3

由于外接球包含正四面体，因此 V' ≥ V。代入 R = a/2 可得：

(4/3) π (a/2)3 ≥ (1/3) a3 √2

化简后得到：

π ≥ 3√2/4

这是一个近似等式，精度很高。因此，我们可以得出

若正四面体的棱长为 a，则其外接球的半径为 a/2，而其外接球的半径与棱长的比值约为 0.74274。

3、若正四面体的棱长为a则其内切球的半径为

若正四面体的棱长为 a，则其内切球的半径 r 为：

证明：

内切球的半径等于四面体所有面的垂线段长度的一半。因为正四面体的所有面都是等边三角形，所以它们的中垂线长度相等。

令正四面体的高为 h，则根据毕达哥拉斯定理：

h2 = (a/2)2 + (a/2)2

h2 = a2/2

h = a/√2

因此，内切球的半径 r 为：

```

r = h/2

r = (a/√2)/2

r = a/(2√2)

```

所以，若正四面体的棱长为 a，则其内切球的半径为 a/(2√2)。

4、与正四面体各个面相切的球的半径

正四面体共有四个相等的三角形面，每个面的面积记为 S。正四面体与一个球相切，该球与每个面都相切，球的半径记为 r。

根据正四面体的性质，四条棱的长度相等，记为 a。正四面体的高为 h，垂足于一个面的中心点，且 h = (a √2) / 3。

球的半径 r 与正四面体的高 h 之间的关系是：r = h / 2。

正四面体的体积 V 为：V = (a^3 √2) / 12。

可以证明，球的体积 Vsph 与正四面体的体积 V 之间的关系是：Vsph = (3 V) / π。

将正四面体的体积公式代入 Vsph 的公式中，得到：

Vsph = [(3 (a^3 √2)) / 12] / π

Vsph = (a^3 √2) / (4π)

球的体积公式为：Vsph = (4 / 3) π r^3。

将 Vsph 的这两个公式相等，得到：

(a^3 √2) / (4π) = (4 / 3) π r^3

r^3 = (a^3 √2) / (16π^2)

最后得出：

r = (a √2) / (4π) = (a / 4) √2