两曲面围成的体积为什么相减（两曲线围成的体积用定积分怎么算）



1、两曲面围成的体积为什么相减

当两个曲面围成一个封闭区域时，其体积可以通过计算区域内的所有点与其中一个曲面的距离，然后根据体积公式计算得到。

对于相减的情况，假设两个曲面围成的区域为两层曲面，其中一个曲面是外层，另一个曲面是内层。外层曲面与区域内的所有点之间的距离之和大于内层曲面与区域内的所有点之间的距离之和。

因此，计算两层曲面围成的体积时，如果先计算外层曲面围城的体积，再计算内层曲面围成的体积，则需要将内层曲面围成的体积从外层曲面围成的体积中减去，才能得到两层曲面围成的实际体积。

具体来说，设外层曲面和内层曲面的体积分别为 V1 和 V2，则两层曲面围成的体积 V 为：

V = V1 - V2

这个公式反映了这样一个事实：两曲面围成的体积等于外层曲面围成的体积减去内层曲面围成的体积。这与通常情况下两个体积相加的原则不同，是因为在两层曲面围成的区域中，内层曲面与区域内部分点的距离与外层曲面重叠，导致计算体积时需要进行相减运算。

2、两曲线围成的体积用定积分怎么算

定积分计算两曲线围成的体积

当两条平面曲线在某区间内围成一个区域时，可以利用定积分来计算该区域所形成的固体的体积。下面介绍两种常见的算法：

横截面法

对于曲线y=f(x)和y=g(x)，其中f(x)≥g(x)，在区间[a, b]内围成的区域。取横截面宽为Δx，高度为[f(x) - g(x)]的矩形，则该矩形的体积为：

ΔV = [f(x) - g(x)] Δx

将所有矩形的体积相加即为该区域围成的固体的体积：

```

V = lim(Δx -> 0) Σ[f(x) - g(x)] Δx

= ∫[a, b] [f(x) - g(x)] dx

```

纵截面法

对于曲线x=f(y)和x=g(y)，其中f(y)≥g(y)，在区间[c, d]内围成的区域。取纵截面宽为Δy，高度为[f(y) - g(y)]的矩形，则该矩形的体积为：

```

ΔV = [f(y) - g(y)] Δy

```

将所有矩形的体积相加即为该区域围成的固体的体积：

```

V = lim(Δy -> 0) Σ[f(y) - g(y)] Δy

= ∫[c, d] [f(y) - g(y)] dy

```

注意事项

确定两曲线的包围关系（即哪条曲线在上方）

确定积分区间

根据曲线的方程选择横截面法或纵截面法

3、两曲面围成的立体的体积咋求

两曲面围成的立体体积计算

要计算由两曲面围成的立体的体积，需要采用分层求和的方法。

设这两个曲面为 z=f(x,y) 和 z=g(x,y)，其中 f(x,y) ≤ g(x,y) 在区域 R 内。将 R 分成小区域 ΔxΔy，每个小区域的面积为 ΔA。在每个小区域内，曲面围成的立体高度为 g(x,y) - f(x,y)。

因此，小区域 ΔA 的体积为 ΔV = (g(x,y) - f(x,y))ΔA。

将 R 中所有小区域的体积相加，得到立体的体积：

V = ∫∫R (g(x,y) - f(x,y)) dA

其中，积分区域 R 为两曲面在 xy 平面上的投影区域。

举例：

已知曲面 z=x2 和 z=y，计算在区域 R 内围成的立体的体积，其中 R 为矩形区域 [0,1] × [0,1]。

R 中的积分为：

V = ∫0^1∫0^1 (y - x2) dy dx

计算积分，得到体积：

V = 1/12 立方单位

4、两个曲面围成的立体的投影

当两个曲面相互相交时，它们围成的立体称为交棱体。当其中一个曲面换成平面时，则称为柱体。投影是三维物体在平面上的一种表示，可以帮助我们直观地了解其形状和结构。

两个曲面围成的立体投影可以分为两种情况：

正投影：投影方向与立体所在的平面垂直，得到的投影形状与立体相平行。

斜投影：投影方向与立体所在的平面不垂直，得到的投影形状会根据投影方向而发生畸变。

对于正投影，若投影面与其中一个曲面平行，则投影形状与该曲面相同，称为直投影。若投影面与两个曲面都不平行，则称为倾斜投影。

对于斜投影，若投影方向与立体的一个面平行，则投影形状为该面的平行投影。若投影方向与立体的所有面都不平行，则称为一般斜投影。

投影图可以用来展示立体的形状、尺寸和位置关系，在工程制图、几何设计、艺术创作等领域都有广泛的应用。通过对投影图的分析，我们可以推导出立体的三视图、展开图和表面积等信息，为立体的制作、设计和分析提供重要的依据。