两相交直线求平面 🦋 （如何求两个相交平面的相交直线）



1、两相交直线求平 🕷 面 🍁

两相 🐘 交直线 🌲 求平 🐈 面

平面几何中，由两条相交直线可以确定唯一一个 🐕 平面。该平面可以由。其法向量和一个点坐标表示

法 🌴 向量的求法

取两条 ☘ 直线的方 💐 向向量分别为 a、b。

法向量 n 为 a 与 🐘 b 的叉积：n = a × b。

一点 🐝 坐标的求法 🌴

取两条直线上的任意一点 ☘ P。

P 到平面 🍁 的 🐞 距离 d 可以用下列公式计算 🐛 ：

d = (P · n) / ||n||

其 🐠 中 · 表示点积表示，||n|| 的 n 长度。

平 🦍 面上一点 Q 的坐标可以用的坐标 P 加上法向量的方向相乘以 d 来计 🐘 算：

```

Q = P + nd

```

例 🐴 题 🌲

已 🐅 知两条相 🕊 交直线 🐅 ：

直 🦋 线 🐟 1：r = i + 2j + k + t(2i - j + k)

直 🌵 线 🌳 2：r = -i + j + 2k + s(i + 2j - 2k)

求过这两条直线的平面 🦋 方程。

解 🦆

求 🐅 法 🌷 向量：n = (2i - j + k) × (i + 2j - 2k) = 5i + 5j - 3k

求一點坐标：例如取直线 🦆 1 上的点 P = i + 2j + k

求 🌼 距离：d = (i + 2j + k) · (5i + 5j - 3k) / ||5i + 5j - 3k|| = 10 / √78

求一 🐵 點坐 🦄 标：Q = P + nd = i + 2j + k + (5i + 5j - 3k) (10 / √78)

= (50 / √78)i + (70 / √78)j + (40 / √78)k

因 🦢 此，平面方 🐵 程 💮 为：

```

5i + 5j - 3k · (r - Q) = 0

```

2、如何求两个相交平面的相交 🌾 直线

求 🦈 相交平面的相交直线 🦉

相交平面的相 🌿 交直线是两个平面公共的部分。求取相 🦟 交直线 🐬 的方法如下：

1. 确定 🌺 平行于两 🐠 个平面 🐼 的直线：

找出两个平面中任意的两条不 🦄 平行的直线，记为l1和l2。

与l1和l2都平行的直线即为 🐴 平行于两个平面的直线，记为l。

2. 确定穿过 🐠 的点：

两个平面至少有一个公共点，记 🌵 为 🐯 P。

直线l一定过点 🌹 P。

3. 确定 🐛 相交 🦅 直线：

求出直线l与两 🐶 个平 🐕 面的两个交点，记 🕷 为A和B。

连接 🐅 A和B，得 🦄 到相交直线。

示 🦍 例 🦉 ：

已知两个 🌷 平 🌷 面π1：2x + 3y - z + 1 = 0和π2：x - y + 2z - 5 = 0，求其相交 💐 直线。

1. 确定平 🕸 行于两个平面 🦊 的 🐳 直线：

π1中的 🦢 直线 🐵 l1：x = 1, y = 0

π2中的直 🕷 线l2：x = 0, z = 1

平行于 🐞 l1和l2的直线：l：x = 0

2. 确定穿过的点 🐋 ：

令x = 0，得到两个平面相交 🐡 于 🦋 点（0，0，1）。

3. 确定 🦈 相交直 💮 线 🦅 ：

l与π1相交 🐴 于点（0，1/3，1/2）

l与π2相 🦉 交于点（0，5，0）

连接（0，1/3，1/2）和（0，5，0），得到相交直线 🦆 ：x = 0, y = (3/2)z - (1/6)

3、求两相交直线 🐬 所确定的平面方程

求 🐠 两相交直 🌹 线 🌷 所确定的平面方程

给定 🦋 两条相交 🐛 直线，它们的方程分别为：

```

L1: x + y - 2 = 0

L2: 2x - 3y + 5 = 0

```

求这两条直线所确定的平 🐞 面的方程。

步骤 1：求直线 L1 和 L2 的 🕷 方向向量。

```

v1 = (1, 1)

v2 = (2, -3)

```

步 🦉 骤 2：求平面法向量。

平 🦊 面法向量垂直于直线 L1 和 L2 的方向向量，因 🪴 此可 🐺 以取它们的叉积。

```

n = v1 x v2 = (-3, 5)

```

步骤 3：求平面 🐋 方程的常数项。

平面经过某一点 🐒 ，例如直 🕸 线 L1 和 L2 的交点。求交点坐标：

```

x - y = 2

2x - 3y = 5

```

解得 x = 1，y = 1。将，此点代入任意一条直线方程中求 🦆 出常数项 d。

```

1 + 1 - 2 = d

d = 0

```

步骤 4：写出 🐋 平面方程。

平面 💮 的方程 🐵 为：

```

-3x + 5y + 0 = 0

3x - 5y = 0

```

因此，两条相交直线 L1 和 L2 所确 🦉 定 🐵 的平面方 🕊 程为 3x - 5y = 0。

4、两条相 🐡 交的直线确定一个平面

当两条相交的直线位于同 🐠 一个空间中时，它们确定了一个平面。这个平面。可以通过两条直线上的任意两点和其中一条直线上不共线的第三点来唯一地确定

为了证明这一点，我，们可以考虑一个三角形其顶点由两条相交直线上 🌾 的任意两点和第三点组成。根，据三角形的。定，义三个点。确，定一个。平面由于第三点不 🐼 在两条直线上因此平面不平行于任何一 🌵 条直线因此两条相交直线确定了一个平面

对于位于同一平面上的任意其他点，它们都可以表示为两条相交直线上两点的线性组合。这，表。明平面，包。含两条直线上的所有点以及由这些点线性组合形成的所有点因 💮 此两条相交直线完全确定了 🐧 它们的交平面

这个定理在几何和工程中有着广泛的 🌷 应用。例如在，建，筑中。它用，于，确定。由 💐 梁和支撑柱形成的平面的倾斜度和方向在航空航天领域它用于确定飞机机翼的平面以确保最佳的升力和空气动力学效率

两条相交直线确定一个平面是一个基本的 🐺 几何原理，其在各个领域都有着重要的应用。它。反映了平面几何中维度和依赖关系 🐳 之间的基本性质