三个相同圆重叠部分的面积 🦁 （三 🦍 个相同的圆围成的图形,求阴影部分的面积）



1、三个相同圆重叠部分的 🦈 面积

设三个圆的半径分别为r1、r2和圆r3，心三，点组成一个三角形 🐝 设三角形边长分别为和a、b且c，满足a+b>r1+r2，a+c>r1+r3，b+c>r2+r3。

设三个圆的重叠部分面积分别 ☘ 为S1、S2和S3，则：

S1 = (πr12)/2 - (π(r1-a/2)2)/2 - (π(r1-b/2)2)/2 + (π(r1-a/2-b/2)2)/2

S2 = (πr22)/2 - (π(r2-b/2)2)/2 - (π(r2-c/2)2)/2 + (π(r2-b/2-c/2)2)/2

S3 = (πr32)/2 - (π(r3-c/2)2)/2 - (π(r3-a/2)2)/2 + (π(r3-a/2-c/2)2)/2

则 🐡 三个圆重叠部分的面积总和为：

S = S1 + S2 + S3

该 🌲 公式可以计算 🪴 出三个相同圆重叠部 🐕 分的面积。

2、三个相同的圆围成的图形,求阴影部分的面 🐡 积

三个相同 🌲 的圆排列成三角形，每个圆半径为 r。阴。影部分是三角形内三个圆重叠的部分

阴影部分的 🦍 面 🌺 积计算：

1. 计 🦍 算 🌻 三角形的面积：

三角形 🪴 底边为 2r，高为 r√3。因，此三角形面 🐵 积为 (2r)(r√3)/2 = r2√3。

2. 计算圆的面 🐱 积：

每个圆面积为 🦁 πr2。

3. 阴 🐡 影部分为三角形面积减去三个圆的面积：

阴 ☘ 影 🐵 部分面积 = r2√3 - 3πr2。

化 🐡 简 🦅 ：

阴 🐘 影部分面积 = r2(√3 - 3π)。

示例 🌼 ：

设 r = 5cm，则阴 🐧 影部 🦁 分的 🌳 面积为：

= 52(√3 - 3π) = 25(1.73 - 3π) ≈ 70.5cm2

3、三个相 🐛 同圆重叠部分的面积怎么算

当三个相同的圆重叠时重叠，部 🐈 分的面积包含一个共同的圆形区域和三个相 🌹 交的扇形区域。

第一步：计算单个圆 🐎 的 🐅 面 🦟 积

单 ☘ 个圆的面积为：

A_c = πr2

其 🌿 中 🐠 ：

A_c 为圆的面积 🌸

r 为 🐠 圆的半径

第 🐶 二 🐶 步：计算扇形区域面积

三个相交的扇形区域面积由三个扇形的角 🦆 度相加 🐵 得出 🦢 。

```

A_s = 3 (θ/360°) πr2

```

其中 ☘ ：

A_s 为扇 🌸 形区域的面积

θ 为每个 🕷 扇形 🐕 的圆心角 🐛

第三步：计算共 🐕 同圆形区域面积

三 🦋 个圆重叠时，会形成一 🐺 个共同圆形区域。其面积为：

```

A_o = πr2 - 3 A_s

```

第四步：计 🐝 算 🌷 重叠区域面 🦁 积

三个圆的 🌹 重叠区域面积由共同圆形区域面积和三个扇形区域面积相加得出：

```

A_o + 3 A_s

```

示 🐛 例 🦈 ：

假 🦉 设三 🍀 个圆的半径为 5 厘米圆，心角为 120°。则重叠区域面 🐬 积为：

```

A_c = π 52 = 25π cm2

A_s = 3 (120/360) π 52 = 16.67π cm2

A_o = π 52 - 3 16.67π = 1.67π cm2

A_overlap = A_o + 3 A_s = 1.67π + 3 16.67π = 56.67π cm2 ≈ 178.48 cm2

```

4、三个相同圆重叠部分的面 🍁 积怎么求

当三个相同的圆重叠时，它，们的重叠区域由九个扇 🐧 形组成每个扇形的面积为 🦢 圆面积（）/3。

设圆的 🦉 半径为 🌳 r，则圆的面积 🕷 为 πr2。

重叠区域 🐕 的面积 🐡 为 🦋 ：

9 × （圆 🌻 面 🐞 积 🌲 ）/3 = 9 × πr2/3

= 3πr2

因此，三个相同圆重叠部分的面积 🐵 为 3πr2。

为了便于理解，可，以，将重叠区域想象成一个六角星由六个重叠的扇形组 🌿 成每个重叠的扇形由一个扇形和三角形组成由于三个。圆，完。全重叠因此六角星的中心区域是 🐬 空的

重叠区域的面积等于六角星的面积减去中心区域的 🐞 面积六角星的面积。为 6 × （扇形面积中心区域的面积为）= 6 × (πr2/6) = πr2。一个圆形区域的面积减去三个三角形的面积，即 (πr2/4) - 3(1/2) × (r/2)2 = (πr2/4) - (3r2/8) = πr2/8。

因此，重叠区 🦟 域的 🍀 面积为：

πr2 - πr2/8 = 3πr2/4

进 🍀 一步化 🦟 简得 🐠 到 3πr2。