平面向量三点共线公式相加为1（平面向量中三点共线的公式怎么记）



1、平面向量三点共线公式相加为1

在二维平面上，已知三点 A(x?, y?)、B(x?, y?) 和 C(x?, y?)，若满足以下条件，则称这三点共线：

(x? - x?)/(y? - y?) = (x? - x?)/(y? - y?)

将该条件整理为比值形式，可以得到：

```

y? - y?/x? - x? = y? - y?/x? - x?

```

进而简化为：

```

x? + y? = x? + y? = x? + y?

```

若将上述等式两边同时除以 x? + y?，可得：

```

1 = x?/x? + y?/y? + Z

1 = x?/x? + y?/y? - Z

```

其中，Z = x?/(x? + y?) = y?/(x? + y?)

代入 Z，得到：

```

1 = (x? + x?)/x? + (y? + y?)/y?

```

由此可见，当三点 A、B、C 共线时，它们对应的系数之和为 1。这个公式可以用来判断三点是否共线，也可以用于求取一条直线上的任意一点的坐标。

2、平面向量中三点共线的公式怎么记

三点共线公式助你轻松判断

三点共线，几何中常见，

公式巧妙，记忆有诀窍。

判断三点共线

若已知点 A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)，

判断共线，用公式来解：

(y2 - y1) / (x2 - x1) = (y3 - y2) / (x3 - x2)

巧记方法

公式看似复杂，巧记不难：

左式：点 B 相对于点 A 的斜率，

右式：点 C 相对于点 B 的斜率。

斜率相等，三点共线；

斜率不等，三点不共线。

举例说明

设 A(1, 2)、B(3, 4)、C(5, 6)，验证共线：

(4 - 2) / (3 - 1) = (6 - 4) / (5 - 3)

= 2 / 2 = 1

斜率相等，故 A、B、C 三点共线。

扩展应用

三点共线公式在几何学中应用广泛，

求面积、判断三角形形状等都用得上。

掌握此公式，几何不再难，

共线不共线，判断一目了然。

3、平面向量中三点共线的充要条件

平面向量中三点共线的充要条件

在平面向量中，三点 A、B、C 共线的充要条件是它们的位向量之间的线性关系：

定理：

平面向量 A、B、C 共线当且仅当它们的位向量满足以下条件之一：

1. 同向：若 A = kB (k 为非零实数)，则 A、B、C 共线。

2. 异向：若 A = -kB (k 为非零实数)，则 A、B、C 也共线。

3. 共点：若 A、B、C 的位向量均为零向量，则它们显然共线。

证明：

充分性：

同向：若 A = kB，则 A、B、C 在同一条直线上，共线。

异向：若 A = -kB，则 A、B、C 在同一条直线上，只是方向相反，也共线。

共点：若 A、B、C 的位向量均为零向量，则 A、B、C 位于原点，共点。

必要性：

假设 A、B、C 共线。

如果 A = kB，则 A 和 B 同向，命题 1 成立。

如果 A = -kB，则 A 和 B 异向，命题 2 成立。

如果 A、B、C 共点，则它们的位向量均为零向量，命题 3 成立。

因此，平面向量 A、B、C 共线的充要条件是它们的位向量之间的上述线性关系。

4、平面向量中三点共线有什么性质

平面向量中三点共线性质

在平面向量中，三点共线是指这三个点可以通过一条直线连接。具有共线性的三点拥有以下性质：

1. 向量的和为零：

如果三个向量的起点相同，终点分别为 A、B、C，且 A、B、C 共线，那么这三个向量的和为零，即：

```

OA + OB + OC = 0

```

2. 一点是另外两点的线性组合：

如果 A、B、C 共线，并且 B 点不与 O 点重合，那么 C 点是 O 点和 B 点的线性组合，即：

```

OC = k OA + l OB

```

其中，k 和 l 为实数。

3. 点积为零：

如果 A、B、C 共线，且 A 点不与 O 点重合，那么向量 AB 和向量 AC 的点积为零，即：

```

AB · AC = 0

```

4. 面积为零：

如果 A、B、C 共线，那么由这三个点组成的三角形的面积为零。

这些性质在平面几何和向量分析中有着广泛的应用。例如，三点共线可以用来确定直线方程、计算三角形面积等。