试判别下列平面相对投影面的位置（判断平面对投影面的相对位置,并求平面上点k的其他投影）



1、试判别下列平面相对投影面的位置

试判别下列平面相对投影面的位置：

平面 π1：3x - 2y + z - 5 = 0

投影面 π2：z = 0

方法 1：

1. 确定平面 π1 的法向量：n1 = (3, -2, 1)。

2. 计算投影面 π2 的法向量：n2 = (0, 0, 1)。

3. 计算 n1 和 n2 的点积：n1 ? n2 = 0 + 0 + 1 = 1。

平面 π1 与投影面 π2 垂直相交。

方法 2：

1. 确定平面 π1 的一个点：如 (1, 0, 2)。

2. 将该点代入投影面 π2 的方程：2 = 0。

该点不满足投影面 π2 的方程，说明平面 π1 不与投影面 π2 相交。

方法 3：

1. 确定平面 π1 的方程通式：z = 3x - 2y + 5。

2. 将投影面 π2 的方程代入通式，得到：0 = 3x - 2y + 5。

3. 解该方程得到：y = (3/2)x - 5/2。

平面 π1 与投影面 π2 平行且不相交。

因此，平面 π1 与投影面 π2 垂直相交。

2、判断平面对投影面的相对位置,并求平面上点k的其他投影

判断平面与投影面的相对位置

1. 平行或重合：

- 平面的法线向量与投影面的法线向量平行或重合。

- 平面与投影面不存在交线。

2. 相交：

- 平面的法线向量与投影面的法线向量不平行也不重合。

- 平面与投影面存在交线。

求平面上点 K 的其他投影

已知平面 ABC 和投影面 DEF，且点 K 位于平面 ABC 上。

1. 计算投影面 DEF 的法线向量：

- 求出向量 DE 和 EF 的叉积，即 n_DEF。

2. 计算平面 ABC 的法线向量：

- 求出向量 AB 和 AC 的叉积，即 n_ABC。

3. 判断平面 ABC 与投影面 DEF 的相对位置：

- 平行或重合：n_ABC · n_DEF = 0

- 相交：n_ABC · n_DEF ≠ 0

4. 求点 K 在投影面 DEF 上的投影 K'：

- 若平面 ABC 与投影面 DEF 平行，则 K' = K。

- 若平面 ABC 与投影面 DEF 相交，则：

a) 求出平面 ABC 关于点 K 的方程：A(x - x_K) + B(y - y_K) + C(z - z_K) = 0。

b) 将方程与投影面的方程联立，求解 K' 的坐标 (x', y', z')。

注意：

1. 平面 ABC 和投影面 DEF 的法线向量必须不为零。

2. 若投影面 DEF 是 x-y 平面、y-z 平面或 z-x 平面，则法线向量分别为 (0, 0, 1)、(0, 1, 0) 或 (1, 0, 0)。

3、判别下列平面相对投影面的位置写出平面的名称

判别平面相对投影面的位置

一、投影面

投影面是指将三维空间中的图形投影到其上的二维平面，通常由水平面（XY 平面）或铅垂面（YZ 平面或 XZ 平面）组成。

二、投影线

投影线是指将三维图形上的点垂直投影到投影面上的直线。

三、平面相对于投影面的位置

根据平面相对于投影面的投影关系，平面与投影面可以分为：

与投影面平行的平面：其投影与投影面重合，投影线垂直于投影面。

与投影面垂直的平面：其投影与投影面垂直，投影线平行于投影面。

与投影面倾斜的平面：其投影既不与投影面重合也不垂直于投影面，投影线与投影面成倾角。

四、平面的名称

根据平面与投影面的位置关系，平面可以按如下方式命名：

平行的平面：水平平面（YZ 平面）或铅垂平面（XZ 平面）

垂直的平面：水平平面（XY 平面）

倾斜的平面：以投影面的名称命名，如倾斜的铅垂平面（XYZ 平面）或倾斜的水平平面（XYZ 平面）

4、判断平面与投影面的相对位置,做出侧面投影

判断平面与投影面的相对位置，绘制侧面投影

1. 判断相对位置

判定平面与投影面之间的相对位置，可以根据平面与投影面之间的角度关系来确定。

平行：平面与投影面之间的夹角为 0 度。

垂直：平面与投影面之间的夹角为 90 度。

倾斜：平面与投影面之间的夹角介于 0 度和 90 度之间。

2. 绘制侧面投影

绘制平面与投影面的侧面投影时，需要遵循以下步骤：

确定正视投影：根据平面的形状和位置，在投影面上绘制平面的正视投影。

确定投影点：平面上的点在投影面上的投影点，即为侧面投影上的点。

连接投影点：将正视投影上的点与侧面投影上的投影点连接起来，即可得到平面的侧面投影。

例题：

判断平面 ABC 与投影面 αβ 的相对位置，绘制平面 ABC 的侧面投影。

已知：平面 ABC 的形状为三角形，正视投影为正三角形 ΔABC。

解法：

根据正三角形 ΔABC 的形状，可以判断平面 ABC 与投影面 αβ 呈倾斜关系。

在投影面 αβ 上绘制正视投影 ΔABC。然后，确定平面 ABC 上一点 C 的投影点 C'（位于正视投影 ΔABC 上）。将点 C 与点 C' 连接起来，得到平面 ABC 的侧面投影 ΔACC'。