两个一般位置平面相交求交线（两一般位置平面相交求交线并判别可见性）



1、两个一般位置平面相交求交线

两个一般位置平面相交求交线

在三维空间中，两个不重合的平面相交，形成一条直线，称为交线。求解两个一般位置平面的交线，需要利用空间解析几何中的知识。

设两个一般位置平面为：

π1：ax + by + cz + d = 0

π2：a'x + b'y + c'z + d' = 0

其中a、b、c、d、a'、b'、c'、d'为给定的常数，且a、b、c不全为0，a'、b'、c'不全为0。

求解交线需要消去一个未知数，最常见的做法是消去z。通过联立两个平面方程，可以得到有关x和y的线性方程组：

ax + by + d = -cz

a'x + b'y + d' = -c'z

解此方程组，得到x和y的表达式：

x = (bd' - b'd) / (ac' - a'c)

y = (ad' - a'd) / (bc' - b'c)

将x和y代入任意一个平面方程，即可消去z，得到交线的参数方程：

z = (-ax - by - d) / c

z = (-a'x - b'y - d') / c'

以上即为两个一般位置平面相交的交线方程。交线是一条直线，由它上的任意一点和一个方向向量确定。方向向量可以取交线上的任意非零向量。

2、两一般位置平面相交求交线并判别可见性

两一般位置平面相交求交线并判别可见性

求交线

设两平面为：

π?：Ax + By + Cz + D = 0

π?：A'x + B'y + C'z + D' = 0

它们的交线方程为：

x = a + tb

y = c + td

z = e + tf

其中，a、b、c、d、e、f 为常数，t 为参数。

求解参数t，则可得到交线的参数方程。

判别可见性

判断两平面π?和π?是否可见，可以分别求出它们的倾斜角α?和α?，再比较α?和α?的大小。

如果α? > α?，则π?对π?可见；

如果α? < α?，则π?对π?可见；

如果α? = α?，则两平面相平行，不相互可见。

倾斜角

倾斜角定义为平面法线向量与z轴正方向之间的夹角。

法线向量为：

π?：(A, B, C)

π?：(A', B', C')

倾斜角的余弦值为：

cos α? = |A / √(A2 + B2 + C2) |

cos α? = |A' / √(A'2 + B'2 + C'2) |

3、两一般位置平面相交求交线的方法

两一般位置平面相交求交线的方法

两一般位置平面相交形成一条直线，称为两平面交线。求交线的方法有两种：点线法和直线法。

点线法：

1. 找一个交点：在两平面上任选一点A，它在交线上。

2. 找一条直线：在第一平面上过A点作一条直线l1，它平行于第二平面。

3. 求交点：l1与第二平面相交于一点B，AB即为交线。

直线法：

1. 找两条平行线：在第一平面上任选两条平行线l1和l2。

2. 找两条交点：l1与第二平面相交于两点A和C，l2与第二平面相交于两点B和D。

3. 求交点：连接AC和BD，它们相交于点E，EF即为交线，其中EF与l1或l2平行。

注意事项：

确定平行：直线法中平行线的确定可以通过垂线法或点斜式。

可行性：两种方法都要求其中一个平面与另一个平面平行或相交，否则无法求出交线。

准确性：确保所选的点和直线都位于两平面内。

直观性：点线法更加直观，而直线法更适合于求解复杂问题。