🐳 两圆相交阴影面积公式 🦆 （求两圆相交阴影部分面积怎么求）



1、两圆相交 🦋 阴影面积公式

两 🌹 圆相 🐬 交阴影面 🐠 积公式

当两圆相交时交，集部分的阴影面积可以用以 🍀 下公 💐 式计算：

S = (π/12) (R1 + R2) (R1 - R2) h

其 🦉 中 🦍 ：

S 是 🦋 阴影 🐺 面积 🌹

R1 和 🌵 R2 是两个圆的半径

h 是两 🐞 圆 🐠 中心的 🪴 距离

推 🌻 导 🐴 ：

该 🌹 公式是从以下几何事实推导出来的：

阴影面积等于两个扇形 🐳 的 🐺 面积之和，减去 🐝 重叠部分的面积。

扇形的面积为 (π/6) r^2 θ，其 🌿 中 r 是半径是 🐅 ，θ 弧度。

阴影部分的弧 🐧 度为 (θ1 + θ2)/2，其中 θ1 和 θ2 是两个圆的交点所对应的弧度。

利用余弦 🐛 定理，我们可以求出 h：

```

h^2 = R1^2 + R2^2 - 2 R1 R2 cos(θ1/2)

```

将以上 🕊 内容代入阴影面积公式 🌻 ，并，化简便 🐱 可得到给出的公式。

应用 💐 ：

此公 🐵 式在解决 🌾 几何问题 🌾 中非常有用，例如：

计 🌷 算 🐋 两个重叠圆形区域的面积 🐕 。

确定两圆 🦅 相 🦊 交部分的阴影面积 🍁 。

计算两个同 🐞 心圆之间环形的面积。

注 🐕 意事 💮 项 🌵 ：

单位制必须一致，即 R1、R2 和必须 h 使用相 🌻 同 🦢 的单位。

如果两个圆不相交，则阴影面积为 🦊 0。

2、求两圆相 🕊 交阴影 🐛 部分面积怎么求

设两 🦊 圆的半径分别为 r1 和两圆圆 r2，心距为 d，且 🐱 d < r1 + r2。

将阴 🌺 影部分划分 🦆 为四块 🌸 ：

区域 🐠 I：以两圆圆心为中心的小圆扇形。其：面积为

```

A1 = (π/3) d^2

```

区域 II 和 IV：以两圆外的圆心为中 🐕 心 🐬 的大圆扇形。其 🦍 ：面积分别为

```

A2 = (π/3) (r1^2 - d^2)

A4 = (π/3) (r2^2 - d^2)

```

区域 III：阴 🌲 影部 🦊 分的三角形。其：面积为

```

A3 = (1/2) d (r1 + r2 - d)

```

阴影部分面积 🦟 ：

将各区域面积相加，即可得到阴影 🌷 部分面积：

```

A = A1 + A2 + A3 + A4 = (π/3) (r1^2 + r2^2 + d^2)

```

3、如何 🐧 计算两圆相交的阴影面积

如何计算两圆相交的阴 💐 影 🐡 面积

当两个圆相交时，会，形成一个阴影区域计算 💮 该 🌼 阴影面积的方法如 🦟 下：

步骤 1：计算 🐶 重 🐅 叠区域 🐡 的面积

重叠区域为两个扇 💐 形 🐛 ：

扇形 A 的 🌸 面积 🐡 ：（θ?/360）× πr?2

扇形 B 的 🌵 面 🕷 积 🌺 ：（θ?/360）× πr?2

其 🦁 中 🌾 ：

θ? 和 θ? 是圆弧的角度（以度为 🐺 单位）

r? 和 r? 是两个圆的半 🐳 径

步骤 2：计算三 🐺 角形区域的面积

相交 🍀 区域 🦢 还包括两 🌿 个三角形：

三角形 C 的面积 🌷 ：1/2 × b? × h?

三角 🌻 形 D 的面积：1/2 × b? × h?

其 🦅 中 🌻 ：

b? 和 🐺 b? 是三角形的底边长度

h? 和 h? 是三角形 🐛 的高度

步 🐳 骤 3：计算 🌹 阴影面积

阴影面积等于 🦅 重叠区域的面积减去三角 🌹 形区域的面积：

阴 🌾 影 🌴 面积 🐡 = （π/360）× （θ?r?2 + θ?r?2） - 1/2 × （b?h? + b?h?)

示例 🌻 ：

如果两 🪴 个圆的半径分别为 5 厘米和厘米圆 3 弧的，角度分别为度和度 120 计 150 算两圆。相。交的阴影面积

重叠 🐴 区域面积： ((120/360) × π × 52) + ((150/360) × π × 32) ≈ 65.98 平方厘 🐶 米

三角形区域面 🌲 积：暂且假设已 🌴 计 🐱 算得出，为 10 平方厘米

阴影面积 🐦 ： 65.98 - 10 = 55.98 平 🐈 方厘米

4、两圆相交 🦁 求 🐦 阴影部分的面积

两 ☘ 圆相 🐦 交求阴影部 🐳 分面积

当两 🌷 个圆相交时，它，们会形成重叠区域称 🐈 为阴影区域。求此阴 💮 影区域的面积需要用到以下公式：

阴影区域面积 = 圆面积 🐛 圆面积A重 + 叠区 🐋 域面积B -

其中，重叠区域 🦁 面积可以用以下公式 🕷 计算：

重叠区 🐧 域 🐈 面积 = πr12θ1/360° + πr22θ2/360° - 2(r1r2sinθ1sinθ2)/2

其 🐈 中：

π = 圆周率 🦈 （约为 🌳 3.14）

r1 和 r2 是两 🦋 个圆的半径

θ1 和 θ2 是圆 🌼 之间的中心角 ☘ （以度 🌹 为单位）

举个例子，假设两个圆的半径分别为 5 和 3，它们的中心角为 💮 60°。

圆A面积 🐳 = π(5)2 = 25π

圆B面 🦄 积 = π(3)2 = 9π

重叠 🦍 区域 🐴 面积 🐎 = π(5)2(60°/360°) + π(3)2(60°/360°) - 2(5)(3)(sin60°)(sin60°)/2 = 6.49π

因此 🦁 ，阴 🦋 影区域面积为：

阴影区域面积 = 25π + 9π - 6.49π = 27.51π ≈ 86.43 平 🐅 方 🦁 单位