到两异面直线距离相等（两异面直线间的距离等于它们公垂线的长）



1、到两异面直线距离相等

两条异面直线距离相等，乃几何学中一有趣之定理。此定理阐述，对于两条不共面的直线，存在一个点，到这两条直线的距离相等。

此定理之证明可基于勾股定理。设两条异面直线为AB和CD，取任意一点O，作OA、OB、OC、OD四条线段。根据勾股定理，有：

OA2 = OB2 + BA2

OC2 = OD2 + CD2

而由于AB和CD异面，所以BA和CD垂直于OC，因此有：

BA2 = OC2 - OA2

CD2 = OC2 - OD2

将此代入上述方程，可得：

OB2 = OA2 - OC2 + OD2

OA2 - OC2 + OD2 = OD2 - OC2 + OA2

整理后可得：

OB2 = OD2

即点O到AB和CD的距离相等。

此定理在几何学和实际应用中都有重要意义。例如，在建筑中，它可以用来计算两面墙之间的最短距离；在机械工程中，它可以用来计算齿轮之间的最佳齿距。

2、两异面直线间的距离等于它们公垂线的长

两异面直线间的距离

对于两条异面直线，它们之间的距离是指连接它们两点所形成的线段的长度，其中一点来自于每一条直线。

公垂线

公垂线是指垂直于两条异面直线并相交于这两条直线的线段。

定理：两异面直线间的距离等于它们的公垂线的长

证明：

设两条异面直线为 l 和 m，其公垂线为 h。

过 l 上任意一点 A 作 h 的平行线，与 m 交于 C。

过 m 上任意一点 B 作 h 的平行线，与 l 交于 D。

则 AC // BD，且 AC = BD，因为它们都是 h 的平行线。

连接 AC 和 BD。

则四边形 ACBD 是一个平行四边形，因此 AC = BD，AC // BD。

由于 h 垂直于 l 和 m，因此 h 垂直于 AC 和 BD。

因此，△ABC 和 △ABD 是直角三角形。

根据勾股定理，有：

AC2 + BC2 = AB2

BD2 + DC2 = AB2

由于 AC = BD，因此：

BC2 = DC2

又因为 BC = CD = h，因此：

h2 = BC2 = DC2

故两异面直线间的距离 AB 等于公垂线 h 的长。

推论：

两条异面直线的距离最小值为公垂线的长。

3、两异面直线的距离公式直线间的距离公式

两异面直线的距离公式

两条异面直线 l 和 m 的距离是指它们最短的公共垂线的长度。这条垂线从 m 上的一个点 P 落到 l 上的一个点 Q。

距离公式为：

d = |(P - Q) · n| / ||n||

其中：

P 是 m 上的点

Q 是 l 上的点

n 是 l 和 m 方向向量之间的叉积

||n|| 是 n 的范数

计算步骤：

1. 求两个方向向量：

求 l 的方向向量 v1

求 m 的方向向量 v2

2. 求叉积：

求 v1 和 v2 的叉积，得到法向量 n

3. 选择 P 和 Q：

从 m 上选择一个点 P

从 l 上选择一个点 Q 使得 (P - Q) 和 n 共线

4. 计算距离：

计算 (P - Q) 的点积 n

计算 n 的范数

将点积除以范数

示例：

给定两个异面直线：

l：x + 2y - 3z = 0, v1 = (1, 2, -3)

m：x - y + 2z = 0, v2 = (1, -1, 2)

1. n = v1 × v2 = (-7, -4, 3)

2. 选取 P(1, 1, 0) 和 Q(0, 1, 0)

3. (P - Q) · n = -7

计算距离：

```

d = |(-7)| / ||n|| = 7 / √74 ≈ 2.65

```

因此，两条异面直线 l 和 m 之间的距离约为 2.65。

4、到两条异面直线距离相等的点的轨迹

设两条异面直线为 l1 和 l2，过 l1 上任一点 A 做 l2 的平行线交 l2 于 B，连接 AB。

设 AB 与 l1 的交点为 C，由平行线性质可得，AB 垂直于 l1。

点 C 在 l1 上移动时，AB 的长度不变，且 AB 垂直于 l1。

因此，点 C 的轨迹是一个与 l1 平行的平面，记为 π1。

同理，过 l2 上任一点 A' 做 l1 的平行线交 l1 于 B'，连接 A'B'。

点 B' 在 l1 上移动时，A'B' 的长度不变，且 A'B' 垂直于 l1。

因此，点 B' 的轨迹也是一个与 l1 平行的平面，记为 π2。

由平移不变性，π1 和 π2 互相平行。

所以，到两条异面直线距离相等的点的轨迹是一对互相平行的平面。