判断直线与平面是否相交（判断直线与平面是否相交,若相交求出）
- 作者: 郭星奈
- 来源: 投稿
- 2024-07-30
1、判断直线与平面是否相交
判断直线与平面是否相交
判断直线与平面是否相交，是一个几何学中的重要问题。解决此问题有两种常用的方法：
代数法
设直线方程为：x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct
平面方程为：Ax + By + Cz + D = 0
将直线方程代入平面方程，若存在 t 值使方程成立，则直线与平面相交；若不存在 t 值，则不相交。
几何法
设直线与平面的法线分别为 l 和 n。
当 l 与 n 平行或重合时，直线与平面平行，不相交。
当 l 与 n 不平行不重合时：
若直线上的任意一点都不在平面上，则直线与平面不相交。
若直线上的某个点在平面上，则直线与平面相交。
判断条件
代数法
若直线方程和平面方程联立后得到关于 t 的一元一次方程，则直线与平面相交。
几何法
l 与 n 不平行不重合，且直线上的某个点在平面上。
举例
例 1：
直线：x = 1 + 2t, y = 2 - 3t, z = 3 + t
平面：2x - y + 3z + 4 = 0
将直线方程代入平面方程，得到：2(1 + 2t) - (2 - 3t) + 3(3 + t) + 4 = 0
化简得：12t + 10 = 0
解得：t = -5/6
因此，直线与平面相交。
例 2：
直线：x = 2 + 3t, y = 1 - t, z = 4 + t
平面：x + y + z - 6 = 0
将直线方程代入平面方程，得到：2 + 3t + 1 - t + 4 + t - 6 = 0
化简得：0 = 0
该方程恒成立，说明直线在平面上，因此直线与平面相交。
2、判断直线与平面是否相交,若相交求出
判断直线与平面是否相交
已知直线方程为：
x = x0 + at
y = y0 + bt
z = z0 + ct
平面方程为：
```
Ax + By + Cz + D = 0
```
判断直线与平面是否相交，可将直线方程代入平面方程中，得到：
```
A(x0 + at) + B(y0 + bt) + C(z0 + ct) + D = 0
```
整理得：
```
(Aa + Bb + Cc)t + (Ax0 + By0 + Cz0 + D) = 0
```
若存在实数 t 使得方程成立，则直线与平面相交。
求出交点
若直线与平面相交，则可由方程求出 t 值：
```
t = -(Ax0 + By0 + Cz0 + D) / (Aa + Bb + Cc)
```
代入直线方程中，即可求出交点的坐标：
```
x = x0 + at
y = y0 + bt
z = z0 + ct
```
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