定积分求两个圆形相交的面积（定积分求两个圆形相交的面积怎么算）



1、定积分求两个圆形相交的面积

对于两个相交的圆形，求其相交区域的面积需要运用定积分。

假设两个圆的方程分别为：

圆 1：x^2 + y^2 = R1^2

圆 2：x^2 + (y - h)^2 = R2^2

其中，(R1, R2) 和 (0, h) 分别是两个圆的半径和圆心之间的垂直距离。

令 x = a 为两圆相切点对应的横坐标，则其纵坐标 y 为：

y = ±√(R1^2 - a^2), y = h ± √(R2^2 - a^2)

利用定积分，可以得到两圆相交区域的面积：

A = 2∫[a,b] (√(R1^2 - x^2) - (h - √(R2^2 - x^2))) dx

其中，[a, b] 是两圆相交部分的 x 坐标范围。

通过求解这个积分，可以获得两圆相交区域的面积。需要注意的是，当两圆仅相切时，相交区域的面积为 0。当两圆相交较多时，需要分段积分求解。

使用定积分求两圆相交面积的方法是准确且通用的，可以适用于各种相交情况。

2、定积分求两个圆形相交的面积怎么算

定积分求重叠圆形面积

两个相交圆形重叠部分的面积，可以通过使用定积分在圆形方程中求解来计算。

考虑两个半径分别为 \(r_1\) 和 \(r_2\) 的圆形，且它们的圆心距为 \(d\) 。令 \(x\) 轴与圆心 \(O_1\) 的连线平行。

为了计算重叠区域的面积，可以沿 \(x\) 轴积分。对于给定的 \(x\) 值，两圆之间的垂直距离由方程给出：

$$y_2 - y_1 = \sqrt{r_2^2 - (x - d)^2} - \sqrt{r_1^2 - x^2}$$

重叠区域的宽度由 \(dx\) 给出。因此，重叠区域的微分面积为：

$$dA = (y_2 - y_1)dx$$

将垂直距离代入微分面积，并沿 \(x\) 轴从 \(a\) 到 \(b\) 积分，即可求得重叠区域的面积：

$$A = \int_a^b (y_2 - y_1)dx$$

其中，\(a\) 和 \(b\) 是重叠区域投影到 \(x\) 轴上的端点。

通过计算定积分，可以得到重叠圆形区域的面积。使用该方法需要仔细分析圆形方程，以确定 \(a\) 和 \(b\) 的值，以及 \(y_2 - y_1\) 表达式的形式。

3、定积分求两个圆形相交的面积怎么求

定积分求两个圆形相交面积

设两个圆的圆心分别为 O1 和 O2，半径分别为 r1 和 r2，它们相交于点 A 和 B。要计算两个圆形相交的面积，可以使用定积分。

设直线 O1A 与 x 轴的交点为 C，设直线 O2A 与 x 轴的交点为 D。则两圆相交的部分可以分解为两部分：

```

扇形 O1AC ：面积为 (θ1/360)πr1^2

扇形 O2AD ：面积为 (θ2/360)πr2^2

```

其中，θ1 为 ∠CO1A 的度数，θ2 为 ∠DO2A 的度数。

设 CD 的长度为 2d。则根据勾股定理，有：

```

d^2 = r1^2 - y^2

```

其中，y 为点 A 的纵坐标。

由相似三角形可得：

```

θ1/360 = d/r1

θ2/360 = d/r2

```

联立以上方程，可解得：

```

d = (r1r2) / (r1 + r2)

θ1 = (360r1) / (r1 + r2)

θ2 = (360r2) / (r1 + r2)

```

因此，两个圆形相交的面积为：

```

(θ1/360)πr1^2 + (θ2/360)πr2^2

= (1/2)π(r1 + r2)d

= (1/2)π(r1 + r2)(r1r2) / (r1 + r2)

= (1/2)πr1r2

```

两个圆形相交的面积为 (1/2)πr1r2。

4、定积分求两个圆形相交的面积公式

定积分求两个圆形相交的面积公式

两个半径分别为 r1 和 r2 的圆心距为 d 的圆相交时，相交部分的面积可以用定积分求解。

假设两个圆的圆心分别为 A 和 B，相交部分为阴影区。过 A 作一直线 l 平行于 AB，交两个圆于点 C 和 D。

设阴影区中与 l 平行的线段与 l 的距离为 y，则线段长度为 2√(r12 - y2)

阴影区与 y 轴之间的距离为 |d - y|

因此，阴影区与 y 轴之间的面积元素为 dA = 2√(r12 - y2) |d - y| dy

则阴影区面积为：

A = ∫[-r1, r1] 2√(r12 - y2) |d - y| dy

由于 y 对称于 y = 0 轴，所以上式可以化为：

A = 2∫[0, r1] 2√(r12 - y2) (d - y) dy

令 u = r12 - y2，则 du = -2y dy

当 y = 0 时，u = r12；当 y = r1 时，u = 0

代入并化简得：

A = -2∫[r12, 0] √u (d - √(r12 - u)) du

= 2d∫[0, r12] √u √(r12 - u) du

= 2d∫[0, r12] u du

= d[u2/2][0, r12]

= dr12

因此，两个圆相交部分的面积为：

A = dr12