求底圆半径相等的两个直交圆柱面（求底圆半径相等的两个直交圆柱面x2+y2=r2）



1、求底圆半径相等的两个直交圆柱面

设两直交圆柱面为：

$$x^2+y^2=a^2 \tag 1$$

$$z^2+w^2=a^2 \tag 2$$

其中，a 为圆柱面底圆的半径。

求底圆半径相等且两圆柱面正交的条件。

圆柱面正交的充要条件是其法向量正交。

圆柱面 (1) 的法向量为：(2x, 2y, 0)

圆柱面 (2) 的法向量为：(0, 0, 2z)

两法向量正交的条件为：

$$(2x, 2y, 0) \cdot (0, 0, 2z) = 0$$

$$ \Rightarrow 4xz = 0 $$

$$ \Rightarrow x=0 \ \text{或} \ z=0 $$

（1）（2）式表示两个圆柱面都是绕 z 轴或 x 轴旋转而成的。

此时，底圆的半径相等，即 a 相等。

综上，底圆半径相等的两个直交圆柱面只能是绕同一轴旋转而成，且它们的半径相等。

2、求底圆半径相等的两个直交圆柱面x2+y2=r2

求底圆半径相等的两个直交圆柱面

设两个圆柱面的方程为：

$$x^2+y^2=r^2$$

$$z=px$$

其中，p 为斜率。

证明：

步骤 1：证明圆柱面正交

令圆柱面方程的参数相等，可得：

$$z=px=r^2$$

解得：

$$p=0$$

因此，两个圆柱面正交。

步骤 2：求底圆半径

由圆柱面方程，可知底圆的方程为：

$$x^2+y^2=r^2$$

这是半径为 r 的圆的方程。

因此，求底圆半径相等的两个直交圆柱面的方程为：

$$x^2+y^2=r^2$$

$$z=0$$

注意：

此解满足了正交和平行于 z 轴的要求。如果需要更一般的情况，斜率 p 可以是任意非零常数。

3、求底圆半径相等的两个直交圆柱面所围立体的表面积

设两个直交圆柱面的底圆半径为 r，高分别为 h1 和 h2。

圆柱面的侧面积为：2πrh，因此两个圆柱面的侧面积和为：2πr(h1 + h2)。

底圆的面积为：πr^2，因此两个圆柱面的底面积和为：2πr^2。

整个立体的表面积等于侧面积和底面积之和，即：

表面积 = 2πr(h1 + h2) + 2πr^2

= 2πr(h1 + h2 + r)

因此，求底圆半径相等的两个直交圆柱面所围立体的表面积，只需知道底圆半径 r 和两个圆柱面高 h1 和 h2，即可通过公式计算。

4、求两个底半径相等的正交圆柱体的公共部分的体积

求两个底半径相等的正交圆柱体的公共部分体积

已知两个正交圆柱体，它们的底面半径相等，为 r，高分别为 h1 和 h2。它们相交的部分是一个正方体，其棱长等于圆柱体的底面半径 2r。

要计算公共部分的体积，首先需要计算正方体的体积。正方体的体积为：

V_cube = (2r)^3 = 8r^3

接下来，需要计算两个圆柱体与正方体重合的部分体积。该部分体积为两个圆柱体底面积和正方体表面积的乘积，除以 2。圆柱体底面积为 πr^2，正方体表面积为 6(2r)^2 = 24r^2。因此，重合部分体积为：

V_overlap = 2πr^2 24r^2 / 2 = 24πr^4

公共部分的体积等于正方体的体积减去重合部分的体积：

V_common = V_cube - V_overlap

V_common = 8r^3 - 24πr^4