如何求两平面相交的直线方程（如何判断两平面相交）



1、如何求两平面相交的直线方程

如何求两平面相交的直线方程

当两个平面相交时，它们相交形成一条直线。要求出这条直线的方程，可以采用以下步骤：

1. 求平面方程的通式

平面方程的一般形式为：

Ax + By + Cz + D = 0

其中 A、B、C 是平面的法向量分量，D 是常数。

2. 解联立方程组

为了求出相交直线，需要解出满足两个平面方程的点坐标 (x, y, z)。为此，将其中一个平面方程中的 z 表示出来，代入另一个平面方程中，得到一个关于 x 和 y 的联立方程组：

```

{Ax + By + D1 = 0

{Ex + Fy + D2 = 0

```

解此联立方程组，即可得到相交直线上的一点。

3. 求方向向量

相交直线的方向向量与两个平面的法向量垂直。因此，可以取这两个法向量叉乘得到方向向量：

```

v = (AB, BC, CA)

```

4. 求直线方程

利用点向式方程可以求出相交直线方程：

```

(x - x0)/v1 = (y - y0)/v2 = (z - z0)/v3

```

其中 (x0, y0, z0) 是相交直线上已知的一点，(v1, v2, v3) 是方向向量分量。

2、如何判断两平面相交

如何判断两平面相交

1. 平行线法

若两平面上的两条直线平行且不共线，则两平面平行，不交于一点。

2. 垂直线法

若两平面中有一条直线垂直于另一平面的任意一条直线，则两平面相交。

3. 叉积法

将两平面的法向量记作 n1 和 n2，则它们之间的叉积 n = n1 × n2：

若 n ≠ 0, 则两平面相交。

若 n = 0, 则两平面平行或重合。

4. 平面方程法

若两平面方程为 Ax + By + Cz + D = 0 和 A'x + B'y + C'z + D' = 0：

若 A/A' = B/B' = C/C' ≠ D/D', 则两平面相交，且交线垂直于 n = .

若 A/A' = B/B' = C/C' = D/D', 则两平面重合或平行。

实例

已知平面 π1：x + 2y - 3z + 5 = 0 和 π2：2x + 4y - 6z - 10 = 0。判断两平面是否相交。

解：

使用平面方程法：

A/A' = B/B' = C/C' = 1/2 ≠ D/D' = 1/2

所以，两平面相交。

3、如何证明两平面相交

如何证明两平面相交

证明两平面相交，需要遵循以下步骤：

1. 确定两平面的法向量：

对于平面 π1，其法向量为 n1；对于平面 π2，其法向量为 n2。

2. 判断法向量是否正交：

如果 n1 ● n2 = 0，则说明两平面平行，不会相交。

3. 判断两平面是否有公共点：

- 如果两平面有公共点，则可以取该点为交点。

- 如果两平面没有公共点，则可以利用平面方程来判断。

4. 利用平面方程：

- 设平面 π1 的方程为 ax + by + cz + d = 0。

- 设平面 π2 的方程为 a'x + b'y + c'z + d' = 0。

- 解联立方程组 ax + by + cz + d = 0 和 a'x + b'y + c'z + d' = 0。

- 如果方程组无解，则两平面不相交。

- 如果方程组有唯一的解，则两平面在解的点相交。

例题：

判断平面 π1：2x - y + 3z - 5 = 0 和平面 π2：x + 2y - z + 4 = 0 是否相交。

法向量：

n1 = (2, -1, 3)

n2 = (1, 2, -1)

n1 ● n2 = 2x(-1) + (-1)x2 + 3x(-1) = -5 ≠ 0

因此，两平面不平行。

公共点：

解方程组

2x - y + 3z - 5 = 0

x + 2y - z + 4 = 0

得到解 (x = 1, y = 2, z = -1)

因此，两平面在点 (1, 2, -1) 相交。