积分求两个圆相交的面积（积分求两个圆相交的面积怎么求）

作者: 陈舒阳
来源: 投稿
2024-11-12

                         ﻿1、积分求两个圆相交的面积积分求两个圆相交的面积
当两个半径分别为 r1 和 r2 的圆相交时，它们的相交面积可以通过积分计算。设相交部分的交角为 θ。
采用极坐标系，圆心之间的距离为 d，则两个圆的交点坐标为：
 (d/2)cos(θ/2), (d/2)sin(θ/2)
 (d/2)cos(π - θ/2), (d/2)sin(π - θ/2)
相交区域的面积可以表示为 θ/2 与 r1 和 r2 关于 x 轴的曲线上方区域面积的和减去 d/2 与 r1 和 r2 关于 x 轴的曲线上方区域面积的和。
A = ∫[0, θ/2] (r1^2 - (x - d/2)^2) dx + ∫[0, θ/2] (r2^2 - (x + d/2)^2) dx
  - ∫[0, θ/2] (d/2)^2 dx - ∫[0, θ/2] (d/2)^2 dx
计算积分得到：
```
A = (2r1^2 + 2r2^2 - d^2) θ/2 - (d^2/4) θ
```
因此，两个圆相交的面积为：
```
A = (r1^2 + r2^2 - d^2/4) θ
```
2、积分求两个圆相交的面积怎么求求两个圆相交面积
原理：
求两个圆相交面积，本质上是求圆与扇形相交的面积。
步骤：
1. 确定相交情况：两个圆要么外部相切、内部相切或相交。根据相交情况，计算相交后形成的扇形面积。
2. 计算扇形扇心角：已知圆心距`d`和圆半径`r`，可通过余弦定理计算扇形扇心角θ：`θ = arccos((d^2 - r1^2 - r2^2) / (2r1  r2))`。其中`r1`和`r2`为两个圆半径。
3. 计算扇形面积：扇形面积`A`等于扇形扇心角θ除以360度乘以圆半径的平方：`A = θ/360  πr^2`。
4. 计算交面积：如果圆相交，则将两个扇形面积相减得到交面积；如果圆相切，则相交面积为0。
具体公式：
 外部相切：交面积为0。
 内部相切：交面积为：`A = (π/360)  (θ1  r1^2 - θ2  r2^2)`
 相交：交面积为：`A = (π/360)  (θ1  r1^2 + θ2  r2^2)`
3、积分求两个圆相交的面积怎么算积分求圆相交面积
已知两个圆为
```
C1：x^2 + y^2 = r1^2
C2：x^2 + y^2 = r2^2
```
其中，r1 和 r2 分别为两个圆的半径。
步骤：
1. 求交点坐标：联立两个圆方程，可得到交点坐标为
```
(x0, y0) = (r1^2  r2 / (r1^2 + r2^2), r2^2  r1 / (r1^2 + r2^2))
```
2. 确定重叠区域：根据交点坐标，可将重叠区域分为四个部分。
3. 积分求面积：对于每个部分，积分极限为交点坐标到圆心的距离。
公式：
重叠区域面积为
```
A = 2  ∫[y0, r1] √(r1^2 - y^2) dy + 2  ∫[y0, r2] √(r2^2 - y^2) dy
```
计算：
求出每个积分的值，然后再相加，即可得到重叠区域的面积。具体计算步骤如下：
```
A = 2  (-1/2)  [y  √(r1^2 - y^2) + r1^2  arcsin(y/r1)] from y0 to r1
  + 2  (-1/2)  [y  √(r2^2 - y^2) + r2^2  arcsin(y/r2)] from y0 to r2
```
化简后得到：
```
A = r1^2  arcsin(y0/r1) + r2^2  arcsin(y0/r2) - y0  √(r1^2 - y0^2) - y0  √(r2^2 - y0^2)
```
4、积分求两个圆相交的面积公式求两个圆相交面积的积分公式
设两个半径分别为 r1 和 r2 的圆心距为 d，且 d < r1 + r2。则两圆相交部分的面积 A 可以通过积分计算得到：
```
A = ∫[a,b] (r1^2 - (d^2 - x^2)^(1/2))^2 dx
```
其中：
 [a, b] 是两圆相交弦的投影线段的端点横坐标
 x 是积分自变量，表示投影线段上任意一点的横坐标
积分求解步骤：
1. 求投影线段的端点横坐标 a 和 b：
```
a = -√(r1^2 - (d/2)^2)
b = √(r1^2 - (d/2)^2)
```
2. 代入积分公式进行积分求解：
```
A = ∫[-√(r1^2 - (d/2)^2), √(r1^2 - (d/2)^2)] (r1^2 - (d^2 - x^2)^(1/2))^2 dx
```
3. 利用三角代换 u = d^2 - x^2，进行化简：
```
A = ∫[0, d^2] (r1^2 - (u)^(1/2))^2 du / |du/dx|
```
4. 求导，得到 |du/dx| = -2x：
```
A = -∫[0, d^2] 2x (r1^2 - (u)^(1/2))^2 du
```
5. 化简积分：
```
A = -2r1^2 ∫[0, d^2] x (r1^2 - (u)^(1/2))^2 du + 4 ∫[0, d^2] x^3 (r1^2 - (u)^(1/2))^2 du
```
6. 分别积分求解，可以得到两圆相交部分的面积 A：
```
A = πr1^2 (d^2 - 4r1^2) / 8 + (π/12) (d^2 - 4r1^2)^2
```