算两圆相交面积（两个圆相交求相交部分的面积）



1、算两圆相交面积

两圆相交面积计算

已知两圆分别以圆心O1、O2为圆心，半径分别为r1、r2，且两圆相交于A、B两点，则两圆相交面积计算如下：

1. 判断相交情况：

- 如果r1 + r2 < d（两圆心距），则两圆不相交。

- 如果d <= r1 - r2或 d <= r2 - r1，则两圆相切。

- 如果r1 - r2 < d < r1 + r2，则两圆相交。

2. 计算弦长：

- 连结两圆心，作圆心O1到弦AB的中点M，得OM垂直AB。

- 利用勾股定理，可得OM = (r1^2 - r2^2 + d^2) / 2d。

3. 计算两圆相交面积：

- 先计算以圆心O1为圆心，半径为r1的扇形面积S1：S1 = (θ1/360) πr1^2。

- 再计算以圆心O2为圆心，半径为r2的扇形面积S2：S2 = (θ2/360) πr2^2。

- 其中，θ1和θ2分别是扇形扇心角，可利用余弦定理求解。

4. 相减得到相交面积：

- 两圆相交面积S = S1 - S2。

注意：

若两圆相切，则相交面积为0。

若两圆相交于一点，则相交面积为0。

2、两个圆相交求相交部分的面积

两个圆相交时，相交部分的面积可以通过以下公式计算：

相交部分面积 = 圆1面积 + 圆2面积 - 相重部分面积

其中，相重部分面积可以通过以下公式计算：

相重部分面积 = 圆1半径 圆2半径 交角余弦（θ）

其中，θ是圆1和圆2的交角。

步骤：

1. 计算圆1和圆2的面积： 圆的面积为 πr2，其中 r 是圆的半径。

2. 计算交角余弦： 交角余弦可以使用以下公式计算：

- 交角余弦（θ）= (x1 x2 + y1 y2) / (r1 r2)

- 其中，(x1, y1)和(x2, y2)是圆心坐标，r1和r2是圆半径。

3. 计算相重部分面积： 使用上述公式计算圆1和圆2相重部分的面积。

4. 计算相交部分面积： 使用上述公式计算圆1和圆2的相交部分面积。

示例：

设圆1的半径为 5，圆心坐标为 (0, 0)。设圆2的半径为 3，圆心坐标为 (4, 0)。交角θ为 60 度。

1. 圆1面积 = π 52 = 25π

2. 圆2面积 = π 32 = 9π

3. 交角余弦（60）= 0.5

4. 相重部分面积 = 5 3 0.5 = 7.5

5. 相交部分面积 = 25π + 9π - 7.5 = 16.5π

3、两圆相交求阴影面积公式

两圆相交求阴影面积公式

当两个圆相交时，它们会形成一个阴影区域。这个阴影区域的面积可以用以下公式计算：

阴影面积 = 扇形面积 - 三角形面积

其中：

扇形面积 = (R1^2 θ1) / 2

三角形面积 = (1/2) b h

符号定义：

R1：圆1的半径

R2：圆2的半径

θ1：圆1和圆2相交部分的圆心角（弧度制）

b：阴影区域底边的长度

h：阴影区域的高（圆心到阴影区域底边的距离）

计算步骤：

1. 计算圆心角 θ1：

θ1 = 2 arccos((R1 - R2) / (R1 + R2))

2. 计算底边长度 b：

b = 2 R2 sin(θ1 / 2)

3. 计算高 h：

h = R1 - R2 + R2 cos(θ1 / 2)

4. 计算扇形面积：

扇形面积 = (R1^2 θ1) / 2

5. 计算三角形面积：

三角形面积 = (1/2) b h

6. 计算阴影面积：

阴影面积 = 扇形面积 - 三角形面积

示例：

有两个圆，半径分别为 3 和 5，相交部分的圆心角为 60 度。阴影区域的面积为：

扇形面积 = (3^2 60) / 2 = 27π

三角形面积 = (1/2) (2 5 sin(30)) (3 - 5 + 5 cos(30)) = 15π

阴影面积 = 27π - 15π = 12π

因此，阴影区域的面积约为 37.7 平方单位。

4、两圆相交的面积怎么算

两圆相交面积的计算

当两个圆相交时，它们的相交区域形成一个重叠区域。计算此重叠区域面积的方法如下：

第一步：计算两个圆的半径

记第一个圆的半径为 r1，第二个圆的半径为 r2。

第二步：计算重叠部分的弦长

相交的圆心连线与两圆圆心的距离记为 d。设弦长的长度为 c。根据勾股定理，有：

d^2 = r1^2 - (c/2)^2 = r2^2 - (c/2)^2

第三步：计算重叠扇形的面积

设重叠扇形的中心角为 θ。根据公式，重叠扇形的面积为：

```

A_sector = (θ/360) π r1^2

```

第四步：计算重叠三角形的面积

重叠三角形的底边为 c，高为 d - √(r1^2 - (c/2)^2)。因此，重叠三角形的面积为：

```

A_triangle = (1/2) c (d - √(r1^2 - (c/2)^2))

```

第五步：计算重叠区域的面积

重叠区域的面积等于重叠扇形的面积减去重叠三角形的面积：

```

A_overlap = A_sector - A_triangle

```