两平面相交公式（两平面相交求交线的步骤）

作者: 杨莯恩
来源: 投稿
2024-12-24

                         ﻿1、两平面相交公式两平面相交公式
在解析几何中，两平面相交形成一条直线，称为交线。求交线方程的公式称为两平面相交公式。
设两平面为：
π?：a?x + b?y + c?z + d? = 0
π?：a?x + b?y + c?z + d? = 0
则两平面相交公式为：
```
[x, y, z] = [t(b?c? - b?c?), t(c?a? - c?a?), t(a?b? - a?b?)]
```
其中，t 为参数，表示交线上任意一点的位置。
推导：
令：
```
x = t(b?c? - b?c?)
y = t(c?a? - c?a?)
z = t(a?b? - a?b?)
```
将 x、y、z 代入两个平面方程中，可以得到：
```
a?t(b?c? - b?c?) + b?t(c?a? - c?a?) + c?t(a?b? - a?b?) + d? = 0
a?t(b?c? - b?c?) + b?t(c?a? - c?a?) + c?t(a?b? - a?b?) + d? = 0
```
化简可得：
```
(a?b? - a?b?)t = 0
(b?c? - b?c?)t = 0
(c?a? - c?a?)t = 0
```
由于 t 不为零，因此：
```
a?b? - a?b? = b?c? - b?c? = c?a? - c?a? = 0
```
这表明两平面平行，没有交线。
当两平面不平行时，t 存在非零解，因此交线方程为：
```
[x, y, z] = [t(b?c? - b?c?), t(c?a? - c?a?), t(a?b? - a?b?)]
```
2、两平面相交求交线的步骤两平面相交求交线步骤
步骤一：确定两平面方程
设两平面方程为：
```
平面A：a1x + b1y + c1z + d1 = 0
平面B：a2x + b2y + c2z + d2 = 0
```
步骤二：消去一个变量
根据平面方程中某一变元的系数不同，消去该变量，例如消去z变量：
```
a1(a2x + b2y + c2z + d2) - a2(a1x + b1y + c1z + d1) = 0
```
化简得到：
```
(a1a2 - a2a1)x + (a1b2 - a2b1)y + (a1c2 - a2c1)z + (a1d2 - a2d1) = 0
```
步骤三：求单位法向量
两平面相交线的单位法向量为：
```
n = (a1a2 - a2a1, a1b2 - a2b1, a1c2 - a2c1)
```
步骤四：确定两平面公共点
两平面公共点满足两平面方程，一般可用消元法确定。
步骤五：求交线方程
通过公共点并与单位法向量平行的直线方程即为交线方程：
```
x = x0 + at
y = y0 + bt
z = z0 + ct
```
其中，(x0, y0, z0)为公共点坐标，(a, b, c)为单位法向量坐标，t为参数。
3、两平面相交有什么性质两平面相交的性质：
1. 交线定理：两平面相交，其交线是一条直线。称这条直线为两平面的公垂线。
2. 共点定理：如果两平面有一个公共点，那么它们的交线过这个公共点。
3. 夹角定理：两平面相交的夹角等于两平面的法线之间的夹角。
4. 平行定理：如果两平面的法线平行，则两平面平行。
5. 垂直定理：如果两平面的一个法线垂直于另一个平面的法线，则两平面垂直。
6. 相切定理：如果两平面的法线相互垂直，并且两平面有一个公共点，则两平面相切。
7. 公垂线定理：两平面相交的公垂线垂直于两平面上任意一点。
8. 法线与交线的关系：两平面的法线与两平面的交线垂直。
9. 平面与直线的夹角：平面与直线的夹角等于平面法线与直线方向向量之间的夹角。
这些性质在几何学和工程学中都有广泛应用，例如确定线性和曲面之间的关系、计算角的度数以及分析空间中的物体形状。
4、两平面相交求直线方程两平面相交求直线方程
在三维空间中，当两平面相交时，其交线为一条直线。求得两平面相交直线方程的方法如下：
步骤 1：求解两个平面方程的联立方程组
设两平面方程分别为 Ax + By + Cz + D = 0 和 E  x + F  y + G  z + H = 0，我们可以通过联立求解 x、y、z 的值来确定交点的坐标。
步骤 2：利用点向式表示直线方程
一旦我们得到交点的坐标 (x0, y0, z0)，我们就可以使用点向式表示直线方程：
```
(x - x0)/a = (y - y0)/b = (z - z0)/c
```
其中 (a, b, c) 是与交点垂直的方向向量，可以由两平面法向量的叉积获得：
```
a = BF - BE
b = CE - CF
c = DE - DF
```
步骤 3：简化方程
通过交叉相乘并消去分母，我们可以将方程简化为：
```
Ax - Ay0 + Bx - By0 + Cz - Cz0 = 0
```
归纳为标准形：
```
ax + by + cz + d = 0
```
其中 (a, b, c, d) 为直线方程的系数。
示例：
求两平面 x + y + z - 3 = 0 和 2x - y + z + 1 = 0 相交直线方程。
解：
1. 求解联立方程组：
```
x + y + z = 3
2x - y + z = -1
```
```
x = 1, y = 1, z = 1
```
2. 求取方向向量：
```
a = 1, b = 2, c = 1
```
3. 写出点向式方程：
```
(x - 1)/1 = (y - 1)/2 = (z - 1)/1
```
4. 简化方程：
```
x - y = 0
```
因此，两平面相交直线方程为 x - y = 0。