由两相交直线求平面（求两相交直线所确定的平面方程）



1、由两相交直线求平面

由两相交直线求平面

在三维空间中，已知两条相交直线，求此两直线所在平面。

步骤：

1. 确定法向量：

- 取两直线上的两个异面点A、B。

- 将AB向量与任一直线上的一向量（如OA或OB）做叉积，得到法向量n。

2. 求截距：

- 取两直线上的任一点C。

- 将点C到原点的向量OC与法向量n做点积，得到截距d。

3. 写出平面方程：

- 求得法向量和截距后，平面方程为：

- n_xx + n_yy + n_zz = d

示例：

已知两直线L1和L2：

- L1：过点（1, 2, 3）并与x轴平行

- L2：过点（2, 1, 4）并与y轴平行

求两直线所在平面。

1. 法向量：AB向量（2, -1, 1）与OA向量（1, 2, 3）叉积，得到n_x = -1，n_y = 3，n_z = 7。

2. 截距：将点C（2, 1, 4）到原点的向量OC与法向量n做点积，得到d = 15。

3. 平面方程：-x + 3y + 7z = 15

2、求两相交直线所确定的平面方程

求两相交直线所确定的平面方程

设两条相交直线的参数方程分别为：

l1： x = x1 + at, y = y1 + bt, z = z1 + ct

l2： x = x2 + dt, y = y2 + et, z = z2 + ft

其中 (x1, y1, z1) 和 (x2, y2, z2) 分别为两条直线上的点，(a, b, c) 和 (d, e, f) 分别为两条直线的方向向量，t 为参数。

两条直线相交于点 P，设 P 的坐标为 (x0, y0, z0)。则有：

x0 = x1 + at0 = x2 + dt0

y0 = y1 + bt0 = y2 + et0

z0 = z1 + ct0 = z2 + ft0

联立求解 t0，可得到相交点 P。

过点 P 作法向量 (a, b, c) × (d, e, f)，记为 (A, B, C)。则该平面的法向量为 (A, B, C)。

选取平面上的另一点 (x, y, z) 作为参考点，根据法向量和参考点，可得到平面方程：

A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0

其中 (x0, y0, z0) 为相交点 P 的坐标，(A, B, C) 为法向量的分量。

3、两条相交的直线确定一个平面

两条相交的直线确定一个平面，这是一个基本的几何概念，在许多领域有着广泛的应用。

当两条直线相交时，它们确定了一个共同的点。连接这个点和任意两条直线上的其他一点，形成两个平面。这两个平面共用一条直线（相交的直线），因此它们共面。

我们可以用矢量的方法来证明这个概念。设两条直线分别为 $\mathbf{v}_1$ 和 $\mathbf{v}_2$，它们相交于点 $P$。那么，向量 $\mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2$ 和 $\mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2$ 都垂直于 $\mathbf{v}_1$ 和 $\mathbf{v}_2$。因此，它们是两个平面中任意一条直线的法线向量。

根据平面方程的矢量形式，两个平面方程为：

$\mathbf{n}_1 \cdot (\mathbf{x} - \mathbf{p}_1) = 0$

$\mathbf{n}_2 \cdot (\mathbf{x} - \mathbf{p}_2) = 0$

其中 $\mathbf{n}_1$ 和 $\mathbf{n}_2$ 分别是两个平面法线向量，$\mathbf{p}_1$ 和 $\mathbf{p}_2$ 分别是两个平面上的任意一点。

由于 $\mathbf{n}_1$ 和 $\mathbf{n}_2$ 共线，因此这两个平面的法线向量组成的方程组只有两个独立方程。这意味着这两个平面共面，确定了一个三维空间中的平面。

两条相交的直线确定一个平面的概念在建筑、工程和设计等领域有着重要的应用。例如，在建筑中，两条相交的墙壁确定了一个平面，可以用作支撑屋顶或墙壁的结构。在工程中，两条相交的管道确定了一个平面，可以用作液体或气体的流动路径。在设计中，两条相交的线段可以确定一个平面，作为画布或其他表面上的参考。

4、求两平面相交直线的方向向量

求两平面相交直线的方向向量

两平面相交直线的方向向量可以表示为两平面法向量的叉积。设有平面Π1和平面Π2，它们的方程分别为：

Π1：a1x + b1y + c1z + d1 = 0

Π2：a2x + b2y + c2z + d2 = 0

则平面Π1的法向量为n1 = (a1, b1, c1)，平面Π2的法向量为n2 = (a2, b2, c2)。

求两平面相交直线的方向向量d：

d = n1 × n2 = (b1c2 - b2c1, c1a2 - c2a1, a1b2 - a2b1)

方向向量d垂直于平面Π1和平面Π2，与相交直线平行。因此，d可以给出相交直线的方向。

求解方向向量d的具体步骤如下：

1. 计算n1 = (a1, b1, c1)和n2 = (a2, b2, c2)。

2. 计算向量d = (b1c2 - b2c1, c1a2 - c2a1, a1b2 - a2b1)。

3. 化简向量d得到最终的方向向量。