两个圆相交的阴影面积（求两圆相交阴影部分面积怎么求）



1、两个圆相交的阴影面积

两个圆相交时，它们会形成一个公有区域，这个区域的阴影面积是一个半月形区域的面积。

设两个圆的半径分别为 R1 和 R2，相交弦长为 L，则公有区域的阴影面积为：

阴影面积 = (1/2) L (R1 + R2) - (1/4) π ((R1 + R2) / 2)^2

其中，π 是圆周率，约为 3.14。

这个公式可以根据毕达哥拉斯定理推导出来。找到相交弦上的垂直中线，这个中线将弦长 L 分为两段，记为 a 和 b。然后，使用毕达哥拉斯定理计算 R1 和 R2 的平方之和：

```

R1^2 = a^2 + (R1 - (L/2))^2

R2^2 = b^2 + (R2 - (L/2))^2

```

将这两个方程相加，并化简：

```

R1^2 + R2^2 = (a^2 + b^2) + (L/2)^2

```

联立这个方程和弦长的公式（a + b = L），可以求得 (R1 + R2)^2 的值：

```

(R1 + R2)^2 = (L/2)^2 + (L/2)^2 = L^2 / 2

```

将这个值代入阴影面积公式，即可得到最终结果。

需要注意的是，这个公式只适用于两个圆相交形成一个公有区域的情况。如果两个圆不相交或相切，则阴影面积为 0。

2、求两圆相交阴影部分面积怎么求

求两圆相交阴影部分面积

当两个圆相交时，它们形成一个阴影部分。求阴影部分面积的方法如下：

1. 计算相交区域面积

求出相交区域的半径：$r_{int}=\sqrt{R_1^2-r_2^2}$，其中 $R_1$ 是较大的圆半径，$r_2$ 是较小的圆半径。

计算相交区域的扇形面积：$A_{int}=\frac{1}{2}r_{int}^2\theta$，其中 $\theta$ 是相交角。

2. 计算外部圆阴影部分面积

求出外部圆阴影部分的扇形面积：$A_{out}=\frac{1}{2}R_1^2(\pi-\theta)$。

3. 计算内部圆阴影部分面积

求出内部圆阴影部分的扇形面积：$A_{in}=\frac{1}{2}r_2^2\theta$。

4. 计算阴影部分面积

阴影部分面积为外部圆阴影部分面积减去内部圆阴影部分面积：

$$A_{shadow}=A_{out}-A_{in}$$

示例：

如果两个半径分别为 10cm 和 6cm 的圆相交，相交角为 60°，则阴影部分面积为：

相交区域半径：$r_{int}=\sqrt{10^2-6^2}=8$

相交区域扇形面积：$A_{int}=\frac{1}{2}(8)^2(60^\circ)=192cm^2$

外部圆阴影部分面积：$A_{out}=\frac{1}{2}(10)^2(\pi-60^\circ)=157cm^2$

内部圆阴影部分面积：$A_{in}=\frac{1}{2}(6)^2(60^\circ)=54cm^2$

阴影部分面积：$A_{shadow}=157cm^2-54cm^2=\boxed{103cm^2}$

3、两个圆相交的阴影面积怎么算

4、两个圆形相交的阴影部分面积

求两个相交圆形阴影部分面积

设两个圆形半径分别为R1和R2，相交圆心的连线长度为d。

阴影部分由内外两重圆弧组成。

内重圆弧面积：

圆心角∠AOB = 2arcsin(d/2R1)

内重圆弧面积 = (R1^2/2) ∠AOB

外重圆弧面积：

圆心角∠COD = 2arcsin(d/2R2)

外重圆弧面积 = (R2^2/2) ∠COD

阴影部分面积：

阴影部分面积 = 内重圆弧面积 + 外重圆弧面积

= (R1^2/2) ∠AOB + (R2^2/2) ∠COD

= (π/2) [R1^2 arcsin(d/2R1) + R2^2 arcsin(d/2R2)]

特别地，当两个圆形相切时，d = R1 + R2，阴影部分面积变为：

阴影部分面积 = (π/2) [(R1 + R2)^2 arcsin(1)]

= (π/2) (R1 + R2)^2